【660-线性代数】补充秩为1的方阵性质 & 矩阵练习

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

{2},b{3})^{T}$，设

$\begin{aligned} A&=\alpha \beta^{T}=\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}b_{1} & a_{1}b_{2} & a_{1}b_{3} \\ a_{2}b_{1} & a_{2}b_{2} & a_{2}b_{3} \\ a_{3}b_{1} & a_{3}b_{2} & a_{3}b_{3}\end{pmatrix}\\B&=\beta^{T}\alpha=\begin{pmatrix}b_{1} & b_{2} & b_{3}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{pmatrix}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\end{aligned}$

$A$为秩为$1$的三阶矩阵，$B$为一个数

因此有，对于任意方阵$A$，如果$r(A)=1$，则有

$\begin{aligned} A&=\alpha\beta^{T}\\A^{2}&=\alpha (\beta^{T}\alpha) \beta^{T}=\alpha l \beta^{T}=l \alpha \beta^{T}=lA\end{aligned}$

其中$l=\beta^{T}\alpha=\alpha^{T}\beta=\sum\limits_{}^{}a_{ii}$，进而$A^{m}=l^{m-1}A$

 

观察本题，$r(A)=1$，因此有

又因为$l=\sum\limits_{}^{}a_{ii}=-3$，因此

 

292伴随矩阵

若$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5\end{pmatrix}$，则矩阵$A$的伴随矩阵$A^{*}=()$

 

可以用最基本的方法

如果想用分块矩阵的方法要注意，

$\begin{pmatrix}A & O \\ O & B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1} & O \\ O & B^{-1}\end{pmatrix},\begin{pmatrix}A & O \\ O & B\end{pmatrix} ^{*}\ne \begin{pmatrix}A^{*} & O \\ O & B^{*}\end{pmatrix}$

因此想要用公式求伴随矩阵，要用

$A A^{*}=|A|E \Rightarrow A^{*}=|A|A^{-1}$

变为逆矩阵才能用分块矩阵公式

 

 

293伴随矩阵、逆矩阵

设矩阵$A$的伴随矩阵$A^{*}=\begin{pmatrix}4 & -2 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$，则$A=()$

 

由于$A A^{*}=|A|E$，故

 

根据$A A^{*}=|A|E$，移项得$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$，显然$A,A^{*},A^{-1}$之间可以互相求

 

由已知得$|A^{*}|=-8$，又有$|A^{*}|=|A|^{3}$，得

又

 

求矩阵的逆矩阵，先考虑能不能用分块矩阵，或者二阶伴随矩阵口诀的方法

 

因此

 

297逆矩阵

已知$AB=A+B$，其中$B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$，则$(A-E)^{-1}=()$

 

这里只讨论给出矩阵关系，未完全给出各个矩阵的数字表示的题目，一般的思路是，以本题为例，将题目的条件化简（别着急往里带），要求谁，就写成，

$(A-E)(矩阵)=E$

第一个括号内为所求逆矩阵对应的原矩阵，第二个括号内是为了和题目条件凑相等而得到的，主要是利用的观察法，等号另一侧只能有$E$或者其他给出了数字表示的矩阵（例如本题，还可以有$B$）

 

由$AB=A+B$，可得

因此$(A-E)^{-1}=B-E=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$

 

298线性方程组、逆矩阵

已知$\alpha_{1}=(1,0,0)^{T},\alpha_{2}=(1,2,-1)^{T},\alpha_{3}=(-1,1,0)^{T}$且$A \alpha_{1}=(2,1)^{T},A \alpha_{2}=(-1,1)^{T},A \alpha_{3}=(3,-4)^{T}$，则$A=()$

 

利用分块矩阵有

其中

因此$(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$可逆

 

如果矩阵不可逆，就涉及到线性方程组的方法

 

设

又因为

有

对应增广矩阵

因此矩阵$A$为

 

如果系数矩阵是不可逆矩阵，这里是求不出详细的矩阵的

 

299线性方程组、逆矩阵

若$\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{pmatrix}A=\begin{pmatrix}2 & 3  \\ 4 & 6\end{pmatrix}$，则$A=()$

 

显然矩阵$\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{pmatrix}$不可逆，故设$A=\begin{pmatrix}x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2}\end{pmatrix}$，有

对应方程组

 

这里用的就是大的增广矩阵

 

所以