背景

有若干个物品，每个物品有两个属性：价值和重量。现在考虑将这些物品装入一个容器，称为「背包」，背包只有一个属性：「最大承重」，每个物品只有一件。问如何选择物品，使得所选物品的重量总和在不超过背包的「最大承重」的前提下，这些物品的价值总和最大。

0-1背包

于每一个物品要么被选择放入背包，要么不放入背包，只有不选（用 0 表示）和选（用 1 表示）两种可能，因此称为「0-1 背包问题」。「0-1 背包问题」在「力扣」上没有对应的问题，我们将它形式化描述如下。

定义状态

一个一个物品考虑是否添加进背包，并且 背包有最大承重限制。根据「无后效性」的动态规划设计原则，将第一维设置成为考虑的物品的下标区间（前缀区间），从 00 开始到 N - 1N−1，第二维设置成背包重量，从 00 开始到 WW。

dp[i][j] 表示：考虑下标区间范围是 [0..i] 内的所有物品，且重量总和不超过 j 时，背包能装下物品的最大价值总和。

推导状态转移方程

对于下标为 i 的物品，有「选」和「不选」两种方案，比较这两种方案选出更好的。

下标为 i 的物品没有被选择时，问题转化成求物品的下标区间 [0.. i - 1] 里，选出重量总和不超过 j 的最大价值总和，即 dp[i - 1][j] 为所求，这里 i >= 1；

下标为 i 的物品被选择时，则问题转化成求物品的下标区间 [0.. i - 1] 里，选出重量总和不超过 j - w[i] 的最大价值总和，即 dp[i - 1][j - w[i]] + v[i] 为所求，这里 i >= 1，并且 j - w[i] >= 0 即 w[i] <= j ，也就是说，下标为 i 的物品的重量 w(i) 要 小于等于 当前考虑的背包承重 j ，状态转移才能发生。

整理一下，状态转移方程为：

dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−w[i]]+v[i]),i≥1,j≥w[i]

代码

#include<iostream>
#include<math.h>
#define maxn 1010
using namespace std;

int main() {
    int n = 0; // 物品个数
    int mw = 0; // 最大重量
    cin >> n >> mw;
    int weights[maxn]; // 重量
    int values[maxn]; // 价值
    int dp[maxn][maxn];
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weights[i] >> values[i];
    }
    
    
    // 给第一列赋值
    for(int i = 1; i <= mw; i++) {
        if(weights[0] <= i) {
            dp[0][i] = values[0];
        }
    }
    
    // 递推
    for(int i = 1; i< n; i++) {
        for(int j = 0; j <= mw; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if(weights[i] <= j) {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-weights[i]] + values[i]);
            }
        }
    }
    
    cout << dp[n-1][mw] << endl;
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<math.h>
#define maxn 1010
using namespace std;

int main() {
    int n = 0;
    int mw = 0;
    cin >> n >> mw;
    int weights[maxn];
    int values[maxn];

    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weights[i] >> values[i];
    }
    int dp[maxn][maxn];
    
    
    
    for(int i = 1; i<= n; i++) {
        for(int j = 0; j <= mw; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if(weights[i-1] <= j) {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-weights[i-1]] + values[i-1]);
            }
        }
    }
    
    cout << dp[n][mw] << endl;
    return 0;
}

#include<iostream>
#include<math.h>
#include<string.h>
#define maxn 1010
using namespace std;

int weights[maxn];
int values[maxn];
int dp[maxn];

int main() {
    int n = 0;
    int mw = 0;
    cin >> n >> mw;
    
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        cin >> weights[i] >> values[i];
    }
    // 0-1背包优化
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = mw; j >= 0; j--) {
            if(weights[i-1] <= j) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-weights[i-1]]+values[i-1]);
            }
        }
    }
    
    cout << dp[mw] << endl;
    return 0;
}

完全背包

有 N 种重量和价值分别为 wi 和 vi 的物品。从这些物品中挑选总重量不超过 W 的物品，求出挑选物品价值总和的最大值。每种物品可以挑选任意多件。

定义状态

与0-1背包一致

状态转移方程

dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i][j−w[i]])+v[i]

代码

#include <iostream>
#define maxn 1010
using namespace std;
int values[maxn];
int weights[maxn];
int dp[maxn][maxn];

int main() {
    int n = 0;
    int mw = 0;
    cin >> n >> mw;
    
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> weights[i] >> values[i];
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 0; j <= mw; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j];
            if(weights[i-1] <= j) {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-weights[i-1]] + values[i-1]);
            }
        }
    }
    
    cout << dp[n][mw] << endl;
    return 0;
}