Dynamic Connectivity
建模：
- 数组索引作为不同的对象
- 相互连接的对象的最大集合为一个 Connected component
操作：
- Find query 检查两个对象是否位于同一个 component 中
- Union command 并集替换掉包含这两个对象的 components (两堆合并为一堆)
API：
Quik Find
数据结构：
- 长度为 N 的整型数组 id[ ]
- 当且仅当 p 和 q 有同样的 id 时，它们是连接中的
Find：检查 p 和 q 是否有同样的 id
Union：合并分别包含 p 和 q 的 component，即 将所有id等于 id[p] 的对象的id 改为 id[q]
分析：在 quick-find 中，每次find()只访问数组一次，union()的访问次数介于 (N+3)(两次索引查找，递归N次，一次赋值) 到 (2N+1) (两次索引查找，递归N次，N-1次索引查找赋值)
缺陷：Union()操作过于昂贵，如果解决Dynamic Connectivity问题且最后只有一个component，那么总共至少(N-1)(N+3)次数组访问，平方级别。
Quik Union
数据结构：
- 长度为 N 的整型数组 id[ ]
- 当且仅当 p 和 q 有同样的 id 时，它们是连接中的
- p 的根为 id[id[id[...id[p]...]]]
Find：检查 p 和 q 是否有同样的根
Union：合并分别包含 p 和 q 的 component 时，将 p 的根 指向 q 的根
缺陷：find()的性能取决于树的深度。树可能变得很深，导致find()变得昂贵。
Quik-Union Improvements
Improvement 1: weighting
思想：
- 从 quick-union 改进，避免出现过深的树
- 跟踪每一个树的规模
- 链接时做一个判断，即 将更小规模的树 链接到 更深的树的根上，而不是反过来
Find：检查 p 和 q 是否有同样的根
Union：合并分别包含 p 和 q 的 component 时，先对两个对象所在的树深度进行比较，将 规模更小 的树 连向 规模更大 的树的根
特点：
- 任意节点的深度最大只有 lgN
Improvement 2: path compression
思想：
- 在计算 p 的根之后，将 p 的id指向该根，以压缩路径
一个改进 quik-union 为 压缩路径形式的例子：
Union-Find Applications
一个例子：Percolation
建模：
- 拥有 N*N 方格的矩形区域
- 每个方格以概率 p 打开，1-p 关闭
- 整个系统 Percolation 当且仅当矩形的顶部和底部通过 open sites 连接
要讨论的问题：在不同的 p 值下，整个系统 Percolation 的可能性。
Solution: run simulations to try and determine the value of the p
实操：
- 初始化一个 N*N 数量的对象，从 0 ~ N²-1 命名
- 创建两个虚拟节点来模拟 root
- 逐步 open 方格直到顶部与底部连接
- 计算频率 来估计 p
