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函数图像和直线

奇函数与偶函数

• 当对f定义域内所有的x都有f(-x) = -f(x)时,f是奇函数.奇函数的图像关于原点有180°的对称性.
• 当对f定义域内所有的x都有f(-x) = f(x)时,f是偶函数,偶函数的图像关于y轴具有镜面对称性.

线性函数的图像

形如f(x) = mx + b的函数叫做线性函数,函数的图像为直线,斜率为m.

点斜式

如果已知直线通过点(x0, y0),斜率为m,则它的方程为 y - y0 = m(x - x0)

如果一条直线通过点 (x1, y1) 和 (x2, y2), 则它的斜率等于 (y2 − y1) / (x2 − x1)

常见函数及其图像

多项式

有许多函数是基于 x 的非负次幂建立起来的.你可以以 1、x、$x^2$、$x^3$等为基本项, 然后用实数同这些基本项做乘法, 最后把有限个这样的项加到一起.基本项 $x^n$ 的倍数叫作 $x^n$ 的系数.最大的幂指数n(该项系数不能为零) 叫作多项式的次数.

二次函数

次数为2的多项式叫做二次函数,即 p(x) = $ax^2 + bx + c$,根据判别式的符号可以判断二次函数到底有两个 一个还是没有实数解.

判别式

$\bigtriangleup$ = $b^2 - 4ac$

它共有三种可能性. 如果 $\bigtriangleup$ > 0, 有两个不同的解; 如果 $\bigtriangleup$ = 0, 只有一个解, 也可以说有两个相同的解; 如果 $\bigtriangleup$ < 0, 在实数范围内无解

连续性

我们先从一个函数是连续的, 这到底意味着什么开始. 正如我上面所说, 直觉上, 可以一笔画出连续函数的图像.

在一点处的连续

如果f(x)在a点连续,则必须满足以下三个条件:

• 双侧极限${\lim_{x \to a} f(x)}$存在并且是有限的
• 函数在点a处有定义,$f(a)$存在并且是有限的
• 以上两个量相等,即: ${\lim_{x \to a} f(x) = f(x)}$

在一个区间上连续

函数f在[a, b] 上连续,需满足以下三个条件:

• f在(a,b)的每一点都连续
• 函数f在x = a处右连续,即 ${\lim_{x \to a^+} f(x)} = f(a)$
• 函数f在x = b处左连续,即 ${\lim_{x \to b^-} f(x)} = f(b)$

★介值定理

$如果f(x)在[a, b]上连续, 并且f(a) < 0且f(b) > 0,那么在区间(a, b) 上至少有一点 c, 使得 f(c) = 0. 代之以 f(a) > 0 且 f(b) < 0, 同样成立.$

★最大值与最小值定理

如果f(x)在[a, b]上连续, 那么f(x)在[a, b]上至少有一个最大值和一个最小值.