【概率论基础进阶】随机变量的数字特征-随机变量的数学期望和方差本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。数学

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

数学期望

离散型随机变量的数学期望

设随机变量 $X$ 的概率分布为

P \left\{X=x_{k}\right\}=p_{k},k=1,2,\cdots

如果级数 $\sum\limits_{k=1}^{+\infty}x_{k}p_{k}$ 绝对收敛，则称为级数随机变量 $X$ 的数学期望或均值，记作 $E(X)$ ，即

E(X)=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}x_{k}p_{k}

连续型随机变量的数学期望

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$ ，如果积分 $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\end{aligned}$ 绝对收敛，则称此积分为随机变量 $X$ 的数学期望或均值，记作 $E(X)$ ，即

E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx

例1：设随机变量 $X$ 的概率密度 $f(x)=\left\{\begin{aligned}&\frac{x^{n}}{n!}e^{-x}&x>0\\&0&x \leq 0\end{aligned}\right.$ ，求 $EX$

\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{n}}{n!}e^{-x}dx=1 \Rightarrow \int_{0}^{+\infty}x^{n}e^{-x}dx=n!

其实在二维均匀分布和二维正态分布也证明过 $\begin{aligned} \int_{0}^{+\infty}x^{n}e^{-x}=n!\end{aligned}$

\begin{aligned} EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx &=\int_{0}^{+\infty}x \cdot \frac{x^{n}}{n!}e^{-x}dx\\ &=\frac{1}{n!}\int_{0}^{+\infty}x^{n+1}e^{-x}dx\\ &=\frac{(n+1)!}{n!}=n+1 \end{aligned}

性质

设 $C$ 是常数，则有 $E(C) \equiv C$
设 $X$ 是随机变量， $C$ 是常数，则有 $E(CX)=CE(X)$
设 $X$ 和 $Y$ 是任意两个随机变量，则有 $E(X \pm Y)=E(X) \pm E(Y)$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则有 $E(XY)=E(X)E(Y)$

例1：设随机变量 $X$ 的密度为 $f(x)$ ，数学期望 $E(X)=0$ ，说明 $\begin{aligned} \int_{0}^{+\infty}x[f(x)-f(-x)]dx=0\end{aligned}$

\begin{aligned} \int_{0}^{+\infty}x[f(x)-f(-x)]dx&=\int_{0}^{+\infty}xf(x)dx+\int_{+\infty}^{0}xf(-x)dx\\ &=\int_{0}^{+\infty}xf(x)dx-\int_{0}^{+\infty}(-x)f(-x)d(-x)\\ &=0 \end{aligned}

函数的期望

定理：

设随机变量 $X$ 的概率分布为

P \left\{X=x_{k}\right\}=p_{k},k=1,2,\cdots

如果级数 $\sum\limits_{k=1}^{+\infty}g(x_{k})p_{k}$ 绝对收敛，则随机变量 $Y=g(X)$ 的数学期望为

E(Y)=E[g(X)]=\sum\limits_{k=1}^{+\infty}g(x_{k})p_{k}

设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$ ，如果积分 $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx\end{aligned}$ 绝对收敛，则随机变量 $Y=g(X)$ 的数学期望为

E(Y)=E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx

定理：

设随机变量 $(X,Y)$ 的概率分布为

P \left\{X=x_{i},Y=y_{i}\right\}=p_{ij},i,j=1,2,\cdots

如果级数 $\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\sum\limits_{i=1}^{+\infty}g(x_{i},y_{j})p_{ij}$ 绝对收敛，则随机变量 $Z=g(X,Y)$ 的数学期望为

E(Z)=E[g(X,Y)]=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy

设随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$ ，如果积分 $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\end{aligned}$ 绝对收敛，则随机变量 $Z=g(X,Y)$ 的数学期望为

E(Z)=E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy

一般做题用以下两个方法计算

$\begin{aligned}F_{Z}(z)&=P \left\{Z \leq z\right\}=P \left\{g(X,Y) \leq z\right\}=\iint\limits_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy\\E(Z)&=E(g(X,Y))=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy\end{aligned}$

其中也可根据 $F_{Z}(z)$ 得到 $f_{Z}(z)$ 然后用

$E(Z)=\int_{-\infty}^{+\infty}zf_{Z}(z)dz$

得到 $E(Z)$

简单来说，期望的计算就是， $取的值\times对应的概率$

例2：设随机变量 $X$ 服从 $P(\lambda)$ ，则随机变量 $Y= \frac{1}{1+X}$ 的数学期望 $EY=()$

$X$ 服从泊松分布 $P(\lambda)$ ， $P \left\{X=k\right\}=\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,\cdots$ ，因此

\begin{aligned} E(Y)=E(\frac{1}{1+X})&=\sum\limits_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{1+k}\cdot \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}\\ &=\frac{1}{\lambda}\sum\limits_{i=1}^{+\infty} \frac{\lambda^{i}}{i!}e^{-\lambda}\\ &=\frac{1}{\lambda}\left(\sum\limits_{i=0}^{+\infty} \frac{\lambda^{i}}{i!}-e^{-\lambda}\right)\\ &=\frac{1}{\lambda}(1-e^{-\lambda}) \end{aligned}

例3：设随机变量 $X$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$ ，则 $E(e^{2X})=()$

\begin{aligned} E(e^{2X})&=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{2x}\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}dx\\ &=e^{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}-4x+4}{2}}dx\\ &=e^{2}\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{(x-2)^{2}}{2}}dx \end{aligned}

这里 $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{- \frac{(x-2)^{2}}{2}}dx\end{aligned}$ 可以直接求积（用 $\begin{aligned} \int_{0}^{+\infty}e^{-x^{2}}dx= \frac{\sqrt{\pi}}{2}\end{aligned}$ ，也可以看成正态分布 $N(2,1)$ 的密度函数积分等于 $1$ 而不必直接求积分，所以答案为 $e^{2}$

例4：某商店销售节日商品每公斤可获利 $8$ 元，节后每公斤亏损 $2$ 元，节日商品销售量 $X$ 是 $[100,200]$ 上均匀分布的随机变量，问节前应进多少公斤这种商品才可以使商店的利润期望值最大

设进货量为 $y$ 公斤，利润为 $Z$ 元，显然，利润与 $X$ 和 $y$ 有关系

如果 $y \leq X$ ，则 $Z=8y$

如果 $y>X$ ，则 $Z=8X-2(y-X)=10X-2y$

即

Z=\left\{\begin{aligned}&8y&X \leq y\\&10X-2y&X<y\end{aligned}\right.,其中100 \leq y \leq 200,X \sim U[100,200]

因此

\begin{aligned} E(Z)&=\int_{100}^{y}(10x-2y) \frac{1}{100}dx+\int_{y}^{200} 8y \frac{1}{100}dx\\ &=\frac{1}{100}(-5y^{2}+1800y-50000) \end{aligned}

又有

\begin{aligned} \frac{dE(Z)}{dy}=\frac{1}{100}(-10y+1800)=0\end{aligned}

解得 $y=180$

方差

定义：设 $X$ 是随机变量，如果数学期望 $E \left\{[X-E(X)]^{2}\right\}$ 存在，则称之为 $X$ 的方差，记作 $D(X)$ ，即

D(X)=E \left\{[X-E(X)]^{2}\right\}

称 $\sqrt{D(X)}$ 为随机变量 $X$ 的标准差或均方差，记作 $\sigma(X)$ ，即 $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$

性质

设 $C$ 是常数，则 $D(C)=0$ ，反之，从 $D(X)=0$ 不能得出 $X$ 为常数的结论
设 $X$ 是随机变量， $a$ 和 $b$ 是常数，则有

$D(aX+b)=a^{2}D(X)$

设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，则有

$D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)$

要求 $X$ 和 $Y$ 相互独立，可以减弱为 $X$ 和 $Y$ 不相关就有 $D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)$ 。事实上 $D(X \pm Y)=D(X)+D(Y)$ 城里的充要条件是 $X$ 和 $Y$ 不相关

独立：有两随机事件 A、B 。 A、B 发生的概率分别为 P(A) 和 P(B) ， AB 事件同时发生的概率为 P(AB) 若 P(A)×P(B)=P(AB) ，则 A 与 B 相互独立。事件 A 发生的概率不影响事件 B 发生的概率，反应的是概率运算上的关系。

不相关：不相关是指两个变量的相关系数为0，两个变量之间没有线性关系的。

1.不相关是指的两个变量之间没有线性关系，并不一定没有其他关系。而独立指的是两个随机变量之间什么关系都没有。so，独立一定不相关，不相关不一定独立。

2.特别的，当随机变量x,y是服从于二维正态分布时，不相关和独立等价

作者：啊，都是鬼

链接：概率论中的独立和不相关的区别_啊，都是鬼的博客-CSDN博客_不相关和独立的区别

随机变量 $X$ 的方差计算公式

D(X)=E \left\{[X-E(X)]^{2}\right\}=E(X^{2})-[E(X)]^{2}

证明：

\begin{aligned} D(X)&=E \left\{[X-E(X)]^{2}\right\}\\ &=E \left\{X^{2}-2XE(X)+[E(X)]^{2}\right\}\\ &=E(X^{2})-2E(X)E(X)+[E(X)]^{2}\\ &=E(X^{2})-[E(X)]^{2} \end{aligned}

由于对任何随机变量 $X$ ， $D(X)\geq 0$ ，故恒有

E(X^{2})\geq [E(X)]^{2}

有时在已知 $X$ 的数学期望与方差时，还用此公式求 $E(X^{2})$

常用随机变量的数学期望和方差

$0-1$ 分布： $E(X)=p,D(X)=p(1-p)$

二项分布， $X \sim B(n,p)$ ： $E(X)=np,D(X)=np(1-p)$

泊松分布， $X \sim P(\lambda)$ ： $E(X)=\lambda,D(X)=\lambda$

几何分布， $P \left\{X=k\right\}=p(1-p)^{k-1},k=1,2,\cdots ,0<p<1$ ： $\begin{aligned} E(X)=\frac{1}{p},D(X)=\frac{1-p}{p^{2}}\end{aligned}$

均匀分布， $X \sim U(a,b)$ ： $\begin{aligned} E(X)= \frac{a+b}{2},D(X)= \frac{(b-a)^{2}}{12}\end{aligned}$

指数分布， $X \sim E(\lambda)$ ： $\begin{aligned} E(X)= \frac{1}{\lambda},D(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}\end{aligned}$

正态分布， $X \sim N(\mu,\sigma^{2})$ ： $E(X)=\mu,D(X)=\sigma^{2}$

【概率论基础进阶】随机变量的数字特征-随机变量的数学期望和方差