【概率论基础进阶】多维随机变量及其分布-两个随机变量函数Z=g(X,Y)的分布本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金

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$X,Y$ 均为离散型随机变量

与一维离散型类似（画表，加和）

$X,Y$ 均为连续型随机变量

可用公式

F_{Z}(z)=P \left\{Z \leq z\right\}=P \left\{g(X,Y) \leq z\right\}=\iint\limits_{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy

例1： $Z=X+Y$ 的分布

设 $(X,Y)$ 的概率密度为 $f(x,y)$ ，则 $Z=X+Y$ 的分布函数

\begin{aligned} F_{Z}(z)&=P \left\{X+Y \leq z\right\}\\ &=\iint\limits_{x+y \leq z}f(x,y)dxdy\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}dx \int_{-\infty}^{z-x}f(x,y)dy \quad 或\quad \int_{-\infty}^{+\infty}dy \int_{-\infty}^{z-y}f(x,y)dx \end{aligned}

由此可以得到 $Z=X+Y$ 的概率密度为

f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y)dy

这里说实话我不知道为啥 $(F_{Z}(z))'=f_{Z}(z)$ ，后续尽量补上

特别是当 $X$ 和 $Y$ 相互独立时， $f(x,y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y)$ ，则

f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy

这个公式称为卷积公式，记为

f_{Z}=f_{X}*f_{Y}

$X$ 为离散型随机变量， $Y$ 为连续型随机变量

一般对离散型随机变量 $X$ 的各种可能用全概率公式把它们展开

$Y$ 为连续型， $Z=g(X,Y)$ ，则

\begin{aligned} F_{Z}(z)&=P \left\{Z \leq z\right\}\\ &=P\left\{g(X,Y)\leq z\right\}\\ &=\sum\limits_{i}^{}P \left\{X= x_{i}\right\}P \left\{g(X,Y) \leq z|X=x_{i}\right\}\\ &即P(x_{i})=p_{i}\\ &=\sum\limits_{i}^{}p_{i}P \left\{g(X,Y) \leq z|X=x_{i}\right\} \end{aligned}

$Z=\max \left\{X,Y\right\}$ 的分布

由 $\max \left\{X,Y\right\}$ 不大于 $z$ 等价于 $X$ 和 $Y$ 都不大于 $z$ ，即

\begin{aligned} F_{Z}(z)&=P \left\{Z \leq z\right\}\\ &=P \left\{X \leq z,Y \leq z\right\}\\ &=P \left\{X \leq z\right\}P \left\{Y \leq z\right\}\\ &=F_{X}(z)F_{Y}(z) \end{aligned}

$Z=\min \left\{X,Y\right\}$ 的分布

\begin{aligned} F_{Z}(z)&=P \left\{Z \leq z\right\}\\ &=1-P \left\{Z >z\right\}\\ &=1-P \left\{X>z,Y>z\right\}\\ &=1-P \left\{X>z\right\}P \left\{Y>z\right\}\\ &=1-(1-F_{X}(z))(1-F_{Y}(z))\\ &=F_{X}(z)+F_{Y}(z)-F_{X}(z)F_{Y}(z)\\ &也可\\ F_{Z}(z)&=P \left\{Z \leq z\right\}\\ &=P \left\{\min \left\{X,Y\right\}\leq z\right\}\\ &=P \left\{X \leq z \cup Y \leq z\right\}\\ &=P \left\{X \leq z\right\}+P \left\{Y \leq z\right\}-P \left\{X \leq z,Y \leq z\right\}\\ &=1-(1-F_{X}(z))(1-F_{Y}(z))\\ &=F_{X}(z)+F_{Y}(z)-F_{X}(z)F_{Y}(z) \end{aligned}

以上结果可以推广至 $n$ 个相互独立的随机变量

例2：设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立， $X \sim E(\lambda_{1}),Y \sim E(\lambda_{2}),\lambda_{1},\lambda_{2}>0$ ，令 $Z=\min \left\{X,Y\right\}$ ，求 $Z$ 的概率密度函数 $f_{Z}(z)$

由公式

F_{Z}(x)=F_{X}(z)+F_{Y}(z)-F_{X}(z)F_{Y}(z)

当 $z>0$ 时

\begin{aligned} f_{Z}(z)=F'_{Z}(x)&=f_{X}(z)+f_{Y}(z)-f_{X}(z)F_{Y}(z)-F_{X}(z)f_{Y}(z)\\ &=(\lambda_{1}+\lambda_{2})e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})z} \end{aligned}

当 $z \leq 0$ 时

f_{Z}(z)=0

故

Z \sim E(\lambda_{1}+\lambda_{2})

也可用

\begin{aligned} F_{Z}(z)&=1- \left\{P \left\{X >z\right\}P \left\{Y>z\right\}\right\}\\ &=\left\{\begin{aligned}&1-e^{\lambda_{1}x}e^{-\lambda_{2}x}=1-e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})x}&z>0\\&0&z \leq 0\end{aligned}\right.\\ f_{Z}(z)&=F'_{Z}(z)=\left\{\begin{aligned}&(\lambda_{1}+\lambda_{2})e^{-(\lambda_{1}+\lambda_{2})x}&z>0\\&0&z \leq 0\end{aligned}\right. \end{aligned}

故

Z \sim E(\lambda_{1}+\lambda_{2})

例3：设二维随机变量 $(X,Y)$ 的概率密度为

f(x,y)=\left\{\begin{aligned}&2-x-y&0<x<1,0<y<1\\&0&其他\end{aligned}\right.

求 $P \left\{X>2Y\right\}$
求 $Z=X+Y$ 的概率密度 $f_{Z}(z)$

\begin{aligned} P \left\{X>2Y \right\}&=\iint\limits_{x>2y}f(x,y)dxddy\\ &=\iint\limits_{D}(2-x-y)dxdy\\ &=\int_{0}^{1}dx \int_{0}^{\frac{1}{2}x}(2-x-y)dy\\ &=\frac{7}{24} \end{aligned}

有

f_{Z}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)dx

先考虑被积函数 $f(x,z-x)$ 中第一个自变量 $x$ 的变化范围，只有当 $0<x<1$ 时， $f(x,z-x)$ 才不等于 $0$ ，因此被积函数上下限最大范围为 $(0,1)$

再考虑被积函数 $f(x,z-x)$ 中第二个自变量 $z-x$ 的变化范围，只有当 $0<z-x<1$ 时， $f(x,z-x)$ 不为 $0$ ，因此需要对 $z$ 分区间讨论

当 $z \leq 0$ 时，由于 $0<x<1$ ，故 $z-x<0$ ，所以

f_{Z}(z)=0

当 $0<z \leq 1$ 时，

f_{Z}(z)=\int_{0}^{z}(2-z)dx=2z-z^{2}

当 $1<z \leq 2$

f_{Z}(z)=\int_{z-1}^{1}(2-z)dx=4-4z+z^{2}

当 $2<z$ 时，由于 $0<x<1$ ，故 $z-x>0$ ，所以

f_{Z}(z)=0

因此

f_{Z}(z)=\left\{\begin{aligned}&2z-z^{2}&0<z \leq 1\\&4-4z+z^{2}&1<z \leq 2\\&0&其他\end{aligned}\right.

这里直接用最基本的方法比卷积公式简单

![[附件/Pasted image 20220915221320.png|300]]

F_{Z}(z)=P \left\{Z \leq z\right\}=P \left\{X+Y \leq z\right\}=\iint\limits_{x+y \leq z}f(x,y)dxdy

当 $z \leq 0$ 时，

F_{Z}(z)=0

当 $0<z \leq 1$ 时，

\begin{aligned} F_{Z}(z)&=\iint\limits_{D_{1}}f(x,y)dxdy\\ &=\int_{0}^{x}dx \int_{0}^{z-x}(2-x-y)dy\\ &=z^{2}- \frac{1}{3}z^{3} \end{aligned}

当 $1<z \leq 2$ 时

\begin{aligned} F_{Z}(z)&=1- \iint\limits_{x+y>z}f(x,y)dxdy\\ &=1-\iint\limits_{D_{2}}f(x,y)dxdy\\ &=1- \int_{z-1}^{1}dx \int_{z-x}^{1}(2-x-y)dy\\ &=\frac{1}{3}z^{3}-2z^{2}+4z- \frac{5}{3} \end{aligned}

当 $2<z$ 时，

F_{Z}(z)=1

所以

f_{Z}(z)=F'_{Z}(z)=\left\{\begin{aligned}&2z-z^{2}&0<z \leq 1\\&4-4z+z^{2}&1<z \leq 2\\&0&其他\end{aligned}\right.

例4：设二维随机变量 $(X,Y)$ 服从正态分布 $N(1,0;1,1;0)$ ，则 $P \left\{XY-Y<0\right\}=()$

由于 $\rho=0$ ，因此 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X \sim N(1,1),Y \sim N(0,1)$ ，也就有 $(X-1) \sim N(0,1)$ 与 $Y$ 相互独立

根据正态分布密度的对称性，有

P \left\{X-1<0\right\}=P \left\{X-1>0\right\}=P \left\{Y<0\right\}=P \left\{Y>0\right\}=\frac{1}{2}

因此

\begin{aligned} P \left\{XY-Y<0\right\}&=P \left\{(X-1)Y<0\right\}\\ &=P \left\{X-1<0,Y>0\right\}+P \left\{X-1>0,Y<0\right\}\\ &=P \left\{X-1<0\right\}P \left\{Y>0\right\}+P \left\{X-1>0\right\}P \left\{Y<0\right\}\\ &=\frac{1}{2} \end{aligned}

【概率论基础进阶】多维随机变量及其分布-两个随机变量函数Z=g(X,Y)的分布

X,YX,YX,Y均为离散型随机变量

X,YX,YX,Y均为连续型随机变量

XXX为离散型随机变量，YYY为连续型随机变量

Z=max⁡{X,Y}Z=\max \left\{X,Y\right\}Z=max{X,Y}的分布

Z=min⁡{X,Y}Z=\min \left\{X,Y\right\}Z=min{X,Y}的分布

$X,Y$ 均为离散型随机变量

$X,Y$ 均为连续型随机变量

$X$ 为离散型随机变量， $Y$ 为连续型随机变量

$Z=\max \left\{X,Y\right\}$ 的分布

$Z=\min \left\{X,Y\right\}$ 的分布