求解微分常用技巧

使用定义求导

根据导数的定义: $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

$例如:对于 f(x) = \frac{1}{x}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}}{h}$

$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\frac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{-h}{hx(x+h)}=-\frac{1}{x^2}$

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})=-\frac{1}{x^2}$

$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

$\frac{d}{dx}x^a=ax^{a-1}$

函数的常数倍

处理一个函数的常数倍时,只需要用常数乘以该函数的导数就可以了.

$\frac{d}{dx}Cf(x)=Cf'(x)$

函数和与函数差

对函数和与函数差求导,需要对每一部分求导然后再相加或者相减.

$\frac{d}{dx}(f(x) + g(x))=f'(x)+g'(x)$

乘积法则

$乘积法则(版本一):如果h(x)=f(x)g(x)那么 h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

$乘积法则(版本二):如果y=uv, 则 \frac{dy}{dx}=v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}$

商法则

$商法则(版本一):如果h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},那么h'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$

$商法则(版本二):如果y=\frac{u}{v},那么\frac{dy}{dx}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

链式求导法则

$链式求导法则(版本一):如果h(x)=f(g(x)),那么h'(x)=f'(g(x))g'(x)$

$链式求导法则(版本二):如果y是u的函数,并且u是x的函数,那么\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$

切线方程

求斜率:通过导函数并带入给定的x值,求x点的斜率m
求直线上的一个点:通过将给定的x值带入原始函数本身得到y0值得到(x0, y0)
使用点斜式 $y-y0=m(x-x0)$

导数伪装的极限

考虑求解以下极限 $\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[5]{32+h}-2}{h}$

它和以下公式非常相似:

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$假设f(x)=\sqrt[5]{x},则f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[5]{x+h}-\sqrt[5]{x}}{h}=\frac{1}{5}x^{\frac{-4}{5}}$ $设x = 32 = 2^5$

$由此可知问题可以转换为函数f(x)=\sqrt[5]{x}在x = 32时的导数即 \frac{1}{5}32^{\frac{-4}{5}}$