【概率论基础进阶】多维随机变量及其分布-随机变量的独立性本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。定义：如果

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

定义：如果对任意 $x,y$ 都有

P \left\{X \leq x,Y \leq y\right\}=P \left\{X \leq x\right\}P \left\{Y \leq y\right\}

即

F(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)

则称随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立

离散型随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立的充要条件：对任意 $i,j=1,2,\cdots$ 成立

P \left\{X=x_{i},Y=y_{j}\right\}=P \left\{X=x_{i}\right\}P \left\{Y =y_{j}\right\}

即 $p_{ij}=p_{i \cdot }p_{\cdot j}$

连续型随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立的充要条件：对任意 $x,y$ ，成立

f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)

从这里可以看出来，边缘概率密度对应的边缘概率

可将两个随机变量的独立性推广到两个以上随机变量的情形

例1：设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立，已知 $(X,Y)$ 的联合分布部分数值

$X \ Y$	$1$	$2$
$1$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$
$2$

由题目条件 $p_{11}= \frac{1}{6},p_{12}=\frac{1}{2}$ ，故 $p_{i \cdot }=p_{11}+p_{12}= \frac{2}{3}$

又根据 $X$ 和 $Y$ 相互独立，可知 $p_{11}=p_{1\cdot }\cdot p_{\cdot 1}$ ，即 $p_{\cdot 1}=\frac{1}{4}$

现要求 $P \left\{X=2,Y=1\right\}=p_{21}=p_{2\cdot }p_{\cdot 1}=(1-p_{1\cdot }) \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

考虑联合分布和边缘分布关系，有，凡是边缘分布均不为 $0$ ，而联合分布的某个 $p_{ij}=0$ ，则必可断定联合分布所对应的两个随机变量是不相互独立的

一般给定边缘分布均不为 $0$ ，所以看到联合分布律中有一个 $p_{ij}=0$ ，则 $X$ 和 $Y$ 就一定不独立，反之，如果所有的 $p_{ij}\ne 0$ ，并不能保证 $X$ 和 $Y$ 相互独立

更新完了《高等数学|线性代数|概率论基础进阶》系列，接下来打算返回来仔细看看线性代数和概率论的课本，应该会先看概率论，还会同时更新660和B站shuhuai008白板推导系列的笔记

（其实660主要是怕没啥东西发，就拿它充个数!)