我正在参加「掘金·启航计划」

题目

给定一个 正整数 num，编写一个函数，如果 num 是一个完全平方数，则返回 true，否则返回 false。

进阶：不要 使用任何内置的库函数，如 sqrt。

示例 1：

• 输入： num = 16
• 输出： true

示例 2：

• 输入： num = 14
• 输出： false

方法一：使用内置的库函数

思路及解法

根据完全平方数的性质，我们只需要直接判断 $\textit{num}$ 的平方根 $x$ 是否为整数即可。对于不能判断浮点数的值是否等于整数的语言，则可以通过以下规则判断：

• 若$\sqrt{\textit{num}}$ 为正整数，则有 $\lfloor x_i \rfloor^2 = (\sqrt{\textit{num}})^2 = \textit{num}$，其中符号 $\lfloor x \rfloor$ 表示 $x$ 的向下取整。

class Solution {
    func isPerfectSquare(_ num: Int) -> Bool {
        let x: Int = Int(sqrt(Double(num)))
        return x * x == num
    }
}

复杂度分析

代码中使用的 $\texttt{pow}$ 函数的时空复杂度与 CPU 支持的指令集相关，这里不深入分析。

方法二：暴力

思路及解法

如果 $\textit{num}$ 为完全平方数，那么一定存在正整数 $x$ 满足 $x \times x = \textit{num}$。于是我们可以从 1 开始，从小到大遍历所有正整数，寻找是否存在满足 $x \times x = \textit{num}$ 的正整数 $x$。在遍历中，如果出现正整数 $x$ 使 $x \times x > \textit{num}$，那么更大的正整数也不可能满足 $x \times x = \textit{num}$，不需要继续遍历了。

代码

class Solution {
    func isPerfectSquare(_ num: Int) -> Bool {
        var x: Int = 1
        var square: Int = 1
        while square <= num {
            if square == num {
                return true
            }
            x += 1
            square = x * x
        }
        return false
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 为正整数 $\textit{num}$ 的最大值。我们最多需要遍历 $\sqrt{n} + 1$ 个正整数。

• 空间复杂度：$O(1)$。

方法三：二分查找

思路及解法

考虑使用二分查找来优化方法二中的搜索过程。因为 $\textit{num}$ 是正整数，所以若正整数 $x$ 满足 $x \times x = \textit{num}$，则 $x$ 一定满足 $1 \le x \le \textit{num}$。于是我们可以将 1 和 $\textit{num}$ 作为二分查找搜索区间的初始边界。

细节

因为我们在移动左侧边界 $\textit{left}$ 和右侧边界 $\textit{right}$ 时，新的搜索区间都不会包含被检查的下标 $\textit{mid}$，所以搜索区间的边界始终是我们没有检查过的。因此，当 $\textit{left} = \textit{right}$ 时，我们仍需要检查 $\textit{mid} = (\textit{left}+\textit{right}) / 2$。

代码

class Solution {
    func isPerfectSquare(_ num: Int) -> Bool {
        var left: Int = 0
        var right: Int = num
        while left <= right {
            let mid = (right - left) / 2 + left
            let square = mid * mid
            if square < num {
                left = mid + 1
            } else if square > num {
                right = mid - 1
            } else {
                return true
            }
        }
        return false
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(\log n)$，其中 $n$ 为正整数 $\textit{num}$ 的最大值。

• 空间复杂度：$O(1)$。