【概率论基础进阶】随机变量及其分布-随机变量函数的分布本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。设$X$

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

这里个人不是很理解，如果有错误指出一定及时改正

设 $X$ 是一个随机变量，则它的函数 $Y=g(X)=g[X(\omega)]$ 也是随机变量

当 $X$ 是离散型随机变量时，设 $X$ 的分布律为 $P \left\{X=x_{k}\right\}=p_{k},k=1,2,\cdots$ ，显然 $Y$ 也是离散型随机变量，其分布律为 $P \left\{Y=g(x_{k})\right\}p_{k},k=1,2,3,\cdots$ ，如果在 $g(x_{k})$ 中有相同的数值，则将它们相应的概率和作为 $Y$ 取该值的概率

当 $X$ 时连续型随机变量时，设 $X$ 的概率密度函数为 $f_{X}(x)$ ，显然一般 $Y$ 也是连续型随机变量，记起概率密度为 $f_{Y}(y)$ ，常常用两中方法来计算

公式法：设 $y=g(x)$ 是单调函数，导数不为零的可导函数， $h(y)$ 为它的反函数，则

$f_{Y}(y)=\left\{\begin{aligned}&\left|g'(y)\right|f_X(h(y))&\alpha<y<\beta\\&0&其他\end{aligned}\right.$

其中 $(\alpha,\beta)$ 是函数 $g(x)$ 在 $x$ 可能取值的区间上的值域

定义法：先求 $Y$ 的分布函数 $F_{Y}(y)$

$F_{Y}(y)=P \left\{Y \leq y\right\}=P \left\{g(X)\leq y\right\}=\int\limits_{g(x)\leq y}f_{X}(x)dx$

然后 $f_{Y}(y)=F'_{Y}(y)$

一般很少用公式法，容易错，要求多，建议使用定义法

定义法要点：

定义

范围 $\left\{\begin{aligned}&离散:取值范围\\&连续:积分范围\end{aligned}\right.$

端点

例1：

X \sim f(x)=\left\{\begin{aligned}& \frac{1}{3\sqrt[3]{x^{2}}}&1\leq x \leq 8\\&0&其他\end{aligned}\right.

$F(x)$ 是 $X$ 的分布函数，求随机变量 $Y=F(X)$ 的分布函数

F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(x)dx=\left\{\begin{aligned}&0&x<1\\&\sqrt[3]{x}-1&1\leq x<8\\&1&8\leq x\end{aligned}\right.

设 $Y=F(X)$ 的分布函数为 $F_{Y}(y)$ 。显然 $0\leq Y \leq 1$

这里注意 $F(X)$ 还是一个随机变量，称之为随机变量 $X$ 的函数。

当 $y<0$ 时，

F_{Y}(y)=P \left\{Y \leq y\right\}=0

当 $1<y$ 时

F_{Y}(y)=1

这里可以这样理解，由于 $X$ 的概率密度函数 $f(x)$ 告诉我们， $X$ 只有可能出现在 $[1,8]$ ，那么当 $X$ 不在该范围时，即 $X<1,X>8$ ，其出现的概率为 $0$

由于 $F$ 是单增的，经过 $F$ 的映射， $X<1$ 对应 $Y=F(X)=0$ ， $X>8$ 对应 $Y=F(X)=1$ ，夹在该范围之间由于 $X$ 的概率密度函数不为 $0$ ，分布函数一定有对应的函数曲线，那么经过映射的 $Y$ 的概率密度也不为 $0$ ，其分布函数一定也有对应的函数曲线

经过上面的分析， $Y$ 的概率密度函数只在 $[0,1]$ 不为 $0$ ，那么所求的分布函数在 $(-\infty,0)$ 一定值为 $0$ ，在 $(1,+\infty)$ 一定值为 $1$ 。

虽然 $Y$ 对应的概率密度函数和分布函数中间不知道，但两端已经能算出来了

当 $0 < y < 1$ 时

\begin{aligned} F_{Y}(y)&\overset{定义}{=}P \left\{Y \leq y\right\}\\ &=P \left\{F(X)\leq y\right\}\quad Y只是X的映射\\ &=P \left\{\sqrt[3]{X}-1\leq y\right\}\\ &=P \left\{X \leq (y+1)^{3}\right\}\quad 向F(x)定义靠\\ &=F[(y+1)^{3}]\\ &=\sqrt[3]{(y+1)^{3}}-1=y \end{aligned}

因此

F_{Y}(y)=\left\{\begin{aligned}&0&y<0\\&y&0\leq y \leq 1\\&1&1<y\end{aligned}\right.

如果 $X \sim f(x)$ 的分布函数为 $F(x)$ ，则 $Y=F(X)\sim U(0,1)$

证明：

$\begin{aligned} F_{Y}(y)&=P \left\{Y \leq y\right\}\\&=P \left\{F(X)\leq y\right\}\\&=P \left\{X \leq F^{-1}(y)\right\}\\&=F(F^{-1}(y))=y\end{aligned}$

显然上式 $y \in (0,1)$ （在此范围内才有 $Y=F(X)$ ）

例2：已知随机变量 $X \sim f(x)=\left\{\begin{aligned}&|x|&|x|\leq 1\\&0&其他\end{aligned}\right.$ ，求 $Y=X^{2}+1$ 的概率密度 $f_{Y}(y)$

当 $y<1$ 时

F_{Y}(y)=0

当 $y>2$ 时

F_{Y}(y)=1

当 $1<y<2$ 时

\begin{aligned} F_{Y}(y)&=P \left\{Y \leq y\right\}\\ &=P \left\{X^{2}\leq y-1\right\}\\ &=P \left\{|X|\leq \sqrt{y-1}\right\}\\ &=\int_{-\sqrt{y-1}}^{\sqrt{y-1}}f(x)dx\\ &=2\int_{0}^{\sqrt{y-1}}xdx\\ &=y-1 \end{aligned}

因此

F_{Y}(y)=\left\{\begin{aligned}&0&y<1\\&y-1&1\leq y \leq 2\\&1&2<y\end{aligned}\right.

求导得

f_{Y}(y)=F'_{Y}(y)=\left\{\begin{aligned}&1&1\leq y \leq 2\\&0&其他\end{aligned}\right.

例3：设随机变量 $X$ 服从标准正态分布，说明随机变量 $Y=\max \left\{X,2\right\}$ 的分布函数恰有一个间断点

设 $Y$ 的分布函数为 $F_{Y}(y)$

当 $y<2$ 时，

F_{Y}(y)=0

当 $y>2$ 时，

\begin{aligned} F_{Y}(y)&=P \left\{Y \leq y\right\}\\ &=P \left\{\max(X,2)\leq y\right\}\\ &=P \left\{X \leq y,2 \leq y\right\}\\ &=P \left\{X \leq y\right\}\\ &=\Phi (y) \end{aligned}

为保证右连续，条件应为 $y \geq 2$ ，可得

F_{Y}(y)=\left\{\begin{aligned}&0&y<2\\&\Phi (y)&y \geq 2\end{aligned}\right.

显然有一个间断点在 $y=2$ 处

其实和上面的题一样，只是在 $Y=2$ 这一点处的概率等于 $X\leq2$ 概率的和，因此会出现间断点，有点类似于离散型随机变量