【概率论基础进阶】随机事件和概率-古典概型与伯努利概型本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。一、古典概型

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

一、古典概型

定义：当试验结果为有限 $n$ 个样本点，且每个样本点的发生具有相等的可能性，如果事件 $A$ 由 $n_{A}$ 个样本点组成，则事件 $A$ 的概率

P(A)=\frac{n_{A}}{n}=\frac{A所包含的样本点数}{样本点总数}

称有限等可能试验中事件 $A$ 的概率 $P(A)$ 为古典型概率

例1：已知 $6$ 个产品中混有 $2$ 个次品，现每次一个的逐个随机抽取检验，求

恰好查三次就确定 $2$ 次品的概率
不超过三次就确定 $2$ 次品的概率

恰好查三次就确定 $2$ 次品的概率，可以用全排列的方式

\frac{\overbrace{C_{2}^{1}}^{两个次品挑一个}\overbrace{C_{2}^{1}}^{前两个位置挑一个}A_{4}^{4}}{A_{6}^{6}}=\frac{2}{15}

也可以从位置的角度考虑，六个位置任选两个放次品，前两个选一个位置放次品，第三个位置放一个次品

\frac{C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}=\frac{2}{15}

不超过三次就确定 $2$ 次品的概率，可以用全排列的方式

\frac{C_{3}^{2}A_{2}^{2}A_{4}^{4}}{A_{6}^{6}}=\frac{1}{5}

也可以从位置的角度考虑，挑两个位置给次品，次品必须在前三个位置中的两个

\frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{1}{5}

一定要保持分子分母考虑对象相同，例如本题分母对所有物品排序，分子就是对所有物品符合条件的排序，或者另一种从位置的角度，分母对两个位置考虑，分子就是对符合条件的两个位置考虑

二、几何概型

定义：当试验的样本空间是某区域（该区域可以是一维、二维或三维等等），以 $L(\Omega)$ 表示其几何度量（长度、面积、体积等等）。 $L(\Omega)$ 为有限，且试验结果出现在 $\Omega$ 中任何区域可能性只与该区域几何度量成正比。事件 $A$ 的样本点所表示的区域为 $\Omega_{A}$ ，则事件 $A$ 的概率

P(A)=\frac{L(\Omega_{A})}{L(\Omega)}=\frac{\Omega_{A}的几何度量}{\Omega的几何度量}

称这样样本点个数无限但几何度量上的等可能试验中事件 $A$ 的概率 $P(A)$ 为几何型概率

三、伯努利概型

定义：把一随机试验独立重复做若干次，即各次试验所联系的事件之间相互独立，且同一事件在各个试验中出现的概率相同，称为独立重复试验

定义：如果每次试验只有两个结果 $A$ 和 $\bar{A}$ ，则称这种试验为伯努利试验，将伯努利试验独立重复进行 $n$ 次，称为 $n$ 重伯努利试验

设在每次试验中，概率 $P(A)=p(0<p<1)$ ，则在 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生 $k$ 次的概率，又称为二项概率公式

C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,2,\cdots,n

例2：某人打靶的命中率为 $\frac{1}{2}$ ，当他连射三次后检查目标，发现靶已命中，则他在第一次射击时就已命中的概率为（）

本题可以理解为条件概率，即在射击命中的条件下是第一次命中的概率为（）

设 $A$ 为至少命中一次， $B$ 为第一次命中，显然 $B \subset A$ 。所求概率为

P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{P(B)}{1-P(\bar{A})}=\frac{\frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2})^{3}}=\frac{4}{7}