解法一

提供一下个人解法

本题如果在不做任何处理的情况下直接暴力搜索，会发现搜索区间很大

于是从缩小搜索区间入手

变形一下

N=K-S(N)-S(S(N)) \tag{1}

根据

S(N)+S(S(N))>0

找出上界

N < K \tag{2}

定义 $p(x)$ 为 $x$ 的位数， $p(1234)=4$

接下来从位数出发，那么有

S(N)\leqslant S(\sum_{i=0}^{i<p(N)} 9\cdot 10^{i} )

例

S(1234)\leqslant S(9999)

定义

S_{max}(N)= S(\sum_{i=0}^{i<p(N)} 9\cdot 10^{i} )

于是有

S(N)\leqslant S_{max}(N)\leqslant S_{max}(K) \tag{3}

代入(1)中

N\geqslant K-S_{max}(K)-S(S_{max}(K))

最后

K-S_{max}(K)-S(S_{max}(K)) \leqslant N \leqslant K \tag{4}

就是 $N$ 的搜索范围

整个搜索范围的长度只有 $L=S_{max}(K)+S(S_{max}(K))$

时间复杂度 $O(L)=O(log_{10}K)$

其实放缩的还不够细，有耐心讨论的话，根据 K 可以找到更小更精确的上界，比如 $S(1234)<S(999)<S(9999)$

本题也许还有其他思路，朋友说把 N 和 K 的函数画出图的话，整体是波动上升的，利用这个性质也许会有其他解法

一道自编脑洞题