【线性代数基础进阶】二次型-补充+练习

烧灯续昼2002
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本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

正交变换法

用矩阵语言表达，即对任意一个nn阶实对称阵AA，必存在正交阵QQ，使得

Q−1AQ=QTAQ=Λ Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda

其中Λ=(λ10⋯ 00λ2⋯ 0⋮ ⋮  ⋮ 00⋯ λn),λi(i=1,2,⋯ ,n)\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & 0 & \cdots  & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & \cdots  & 0 \\ \vdots  & \vdots  &  & \vdots  \\ 0 & 0 & \cdots  & \lambda_{n}\end{pmatrix},\lambda_{i}(i=1,2,\cdots ,n)是AA的特征值，即AA必既相似又合同于对角阵

 

注：正交变换法只能化二次型为标准形，平方项的系数即是特征值

 

标准形

例1：二次型f(x1,x2,x3)=x12+3x22+x32+2ax1x2+2x1x3+2x2x3f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+3x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2a x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+2x_{2}x_{3}，经正交变换x=Pyx=Py化为标准形y12+4y22y_{1}^{2}+4y_{2}^{2}，则a=()a=()

 

正交变换法中有

xTAx=x=QyyTQTAQy x^{T}Ax \overset{x=Qy}{=}y^{T}Q^{T}AQy

只看系数矩阵，有

∣QTAQ∣=∣QT∣∣A∣∣Q∣=∣A∣ |Q^{T}AQ|=|Q^{T}||A||Q|=|A|

即正交变换前后，系数矩阵行列式相等

一定注意是正交变换的行列式，一般的合同矩阵之间没有这个关系

 

有

A=(1a1a31111) A=\begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

标准形中已知∣QTAQ∣=0|Q^{T}AQ|=0，则

∣A∣=∣1a1a31111∣=−(a−1)2=0 |A|=\begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}=-(a-1)^{2}=0

得a=1a=1

 

合同

证明：矩阵A=(120210002)A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}与(10001000−1)\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}合同，与(1100100 00)\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 &  0 & 0\end{pmatrix}

 

是否合同的充要条件是A≃B⇔pA=pB,qA=qBA \simeq B \Leftrightarrow p_{A}=p_{B},q_{A}=q_{B}，两个矩阵特征值只是符号相同的数量相同，值之间没有必然关系

 

由特征值

∣λE−A∣=∣λ−1−20−2λ−1000λ−2∣=(λ−2)(λ−3)(λ+1) |\lambda E-A|=\begin{vmatrix} \lambda-1 & -2 & 0 \\ -2 & \lambda-1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda-2 \end{vmatrix}=(\lambda-2)(\lambda-3)(\lambda+1)

知二次型标准形为2y12+3y22−y322y_{1}^{2}+3y_{2}^{2}-y_{3}^{2}，即p=2,q=1p=2,q=1，得证

 

只需要正负惯性指数可以考虑配方法，这里不做演示

 

配方法

例：用配方法化成二次型，f(x1,x2,x3)=2x1x2+4x1x3f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}为标准形，并写出所用的坐标变换

 

对于没有平方项只有交叉项的，先做辅助坐标变换

 

令

{x1=y1+y2x2=y1−y2x3=y3 \left\{\begin{aligned}&x_{1}=y_{1}+y_{2}\\&x_{2}=y_{1}-y_{2}\\&x_{3}=y_{3}\end{aligned}\right.

 

该变换既能配方又能保证系数行列式不为00

这是对没有平方项只有交叉项的，如果有任意一个xx的平方项，那就可以从这个xx起手，进行配方

对于更高元二次型没有平方项只有交叉项的可以用

{x1=y1+y2x2=y1−y2x3=y3⋮xn=yn \left\{\begin{aligned}x_{1}&=y_{1}+y_{2}\\ x_{2}&=y_{1}-y_{2}\\ x_{3}&=y_{3}\\ &\enspace\vdots\\ x_{n}&=y_{n} \end{aligned}\right.

来做辅助坐标变换

 

得

f=2(y1+y2)(y1−y2)+4(y1+y2)y3=2y12−2y22+4y1y2+4y2y3=2(y12+2y1y3+y32)−2y22+4y2y3−2y32=2(y1+y3)2−2(y2−y3)2 \begin{aligned} f&=2(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})+4(y_{1}+y_{2})y_{3}\\ &=2y_{1}^{2}-2y_{2}^{2}+4y_{1}y_{2}+4y_{2}y_{3}\\ &=2(y_{1}^{2}+2y_{1}y_{3}+y_{3}^{2})-2y_{2}^{2}+4y_{2}y_{3}-2y_{3}^{2}\\ &=2(y_{1}+y_{3})^{2}-2(y_{2}-y_{3})^{2} \end{aligned}

 

有平方项有时也需要辅助坐标变换

 

例：f(x1,x2,x3)=2x22+2x1x3f(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{2}^{2}+2x_{1}x_{3}用配方法化为标准形

 

显然直接的配方不好进行，考虑坐标变换

{x1=y1+y3x2=y2x3=y1−y3 \left\{\begin{aligned}&x_{1}=y_{1}+y_{3}\\ &x_{2}=y_{2}\\ &x_{3}=y_{1}-y_{3}\end{aligned}\right.

代入

f(x1,x2,x3)=2y12+2y22−2y32 f(x_{1},x_{2},x_{3})=2y_{1}^{2}+2y_{2}^{2}-2y_{3}^{2}

 

有时也可能出现用x1x_{1}起手不合适的情况，可以换其他含有平方项的xx，没有太固定的变换模板，需要灵活

 

例：f(x1,x2,x3)=x12+x22+2x1x2+x2x3f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}化为标准形

 

如果用x1x_{1}起手

f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+x2x3 \begin{aligned} f(x_{1},x_{2},x_{3})&=(x_{1}+x_{2})^{2}+x_{2}x_{3} \end{aligned}

到此已经无法继续配方了，换x2x_{2}起手

f(x1,x2,x3)=[x22+2x2(x1+12x3)]+x12=(x2+x1+12x3)2−(x1+12x3)2+x12=(x2+x1+12x3)2−x12−14x32−x1x3+x1=(x2+x1+12x3)2−(14x32+2x1⋅12x3)=(x2+x1+12x3)2−(12x3+x1)2+x12 \begin{aligned} f(x_{1},x_{2},x_{3})&=[x_{2}^{2}+2x_{2}(x_{1}+ \frac{1}{2}x_{3})]+x_{1}^{2}\\ &=(x_{2}+x_{1}+ \frac{1}{2}x_{3})^{2}-(x_{1}+ \frac{1}{2}x_{3})^{2}+x_{1}^{2}\\ &=(x_{2}+x_{1}+ \frac{1}{2}x_{3})^{2}-x_{1}^{2}- \frac{1}{4}x_{3}^{2}-x_{1}x_{3}+x_{1}\\ &=(x_{2}+x_{1}+ \frac{1}{2}x_{3})^{2}- (\frac{1}{4}x_{3}^{2}+2x_{1}\cdot \frac{1}{2}x_{3})\\ &=(x_{2}+x_{1}+ \frac{1}{2}x_{3})^{2}-(\frac{1}{2}x_{3}+x_{1})^{2}+x_{1}^{2} \end{aligned}

 

关于配方法和辅助坐标变换是很灵活的，这仅是自己的总结，我觉得应该有更加普适的方法，但个人能力就到这里了，如果有好的方法可以私信我，我加上

 

正定二次型

定理：经坐标变换不改变二次型的正定性

 

官方表述：经可逆线性变换不改变二次型的正定性

 

例：判断二次型f(x1,x2,x3)=(x1−x2)2+(x2−x3)2+(x3−x2)2f(x_{1},x_{2},x_{3})=(x_{1}-x_{2})^{2}+(x_{2}-x_{3})^{2}+(x_{3}-x_{2})^{2}的正定性

 

A=(2−1−1−12−1−1−12),∣A∣=0 A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{pmatrix},|A|=0

一定不是正定二次型

 

此处注意如果想用坐标变换法，要保证变换的系数矩阵对应行列式不为00

令

{y1=x1−x2y2=x2−x1y3=−x1+x3 \left\{\begin{aligned}&y_{1}=x_{1}-x_{2}\\ &y_{2}=x_{2}-x_{1}\\ &y_{3}=-x_{1}+x_{3}\end{aligned}\right.

对应行列式

∣1−1001−1−101∣=0 \begin{vmatrix}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1\end{vmatrix}=0

因此该变换不是坐标变换

 

【线性代数基础进阶】到此结束，如果笔记有问题私信我，一定会及时更改

然后下一个线性代数系列应该是【线性代数基础强化】，还会开始【概率论基础进阶】，同时继续之前的【高等数学基础进阶】

【线性代数基础强化】主要目的是尽自己能力推一下之前很多只是为了做题，但没有说明为什么的定理、推广、结论等等

然后关于660，暂定一时半会不会更，大概三个月以后？

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