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图形学的数学基础（三十三）：纹理应用（中）

凹凸贴图（$BumpMapping$）

用于改变表面片元法线的技术统称为凹凸贴图($BumpMapping$),凹凸贴图把各像素法线相关的信息存于一张Texture中，各像素的的法线通过这张纹理采样得到，使用采样得到的法线代替片元自身的法线进行着色光照计算，会看到凹凸不平的效果，是一种欺骗眼睛的效果。凹凸贴图思想最早由图形学大牛Jim Blinn提出，后来的Normal Mapping，Parrallax Mapping，Parallax Occulision Mapping，Relief Mapping，均是基于同样的思想，只是考虑的越来越全面，效果越来越逼真。

存储法线的几种方式

$heightMap$

$heightMap$存储的是表面的相对高度，该高度的变化实际上表现了物体表面凹凸不平的特质，但是高度值不能直接用来计算光照，必须先将其转换为法线，再通过法线计算光照，这就是$heightMap$的核心原理。但是有个问题是，我们如何通过高度值计算出法线呢?

要计算P点的法线，可以先求p点的切线，而切线正是函数曲线在p点的导数。

先拿二维的情况举例，点p的原始法线为$(0, 1)$，假设$h$为高度函数，根据差分近似求出点p的导数为：

$dp = c * (h(p + 1) - h(p))$

点p的切线矢量为：

$tangent(p) = (1, dp) = (1, c * (h(p + 1) - h(p)))$

将切线逆时针旋转90°，得到p点扰动后的法线。

$normal(p) = \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{bmatrix}tangent(p) = \begin{bmatrix} 0&-1\\ 1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ dp \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -dp\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -(c∗(h(p+1)−h(p)))\\ 1 \end{bmatrix}$

注：上述推导中$c$为常数，表示法线被扰动影响大小的因子。

将上述推导到三维过程，只需要计算uv两个方向的梯度，剩下的和二维一致，计算切线，逆时针旋转90°计算法线。

• 原始法线$n(p) = (0,0,1)$
• 分别计算nv两个方向上的梯度：
  • $\dfrac{dp}{du} = c_1 *(h(u + 1)- h(u))$
  • $\dfrac{dp}{dv} = c_2 * (h(v + 1)- h(v))$
• 被扰动后的法线： $normal(p) = \begin{bmatrix} \dfrac{-d_p}{d_u}\\ \dfrac{-d_p}{d_v}\\ 1 \end{bmatrix}.normalized()$

注：所有计算出的法线都是在切线空间下的，需要乘以$TBN$矩阵转换到世界空间！

$BumpMapping$

原始的凹凸贴图技术，由jim Blinn提出，后续的凹凸贴图技术都是基于其思想改进的。想法很简单，纹理贴图上每个像素点存储两个信息，一个是$u$方向的偏移矢量，一个是$v$方向上的偏移矢量。这样原始法线加上这两个矢量后自然得到了扰动后的法线。

$NormalMap$

我们知道Texture上可以存储三维的颜色作为漫反射系数，自然也可以存储法线向量的信息，利用$(u,v)$坐标查询每个点的法线向量，而不是用原始模型的法线信息，这就是$normalMap$。

明白了Normal Maps的原理之后，有一点重要的是，如何在存储这些法线信息呢？一种可选方案是存储对象空间下法线信息，这样在做完纹理查询后乘以世界空间矩阵直接就可以用了，但是不好的一点是，当对象空间发生变化时，那么该法线向量就不再正确了。更通用的做法是存储切线空间下的法线向量。

对象空间和切线空间法线贴图对比：

显然切线空间的存储方式更加灵活，不受制于种种限制，但是要付出的相应代价就是需要比较复杂的空间转换过程。

应用法线贴图后的渲染结果。

TBN空间

切线空间定义域每一个顶点之中，是由切线（$Tangent$），副切线（$BiTangent$），顶点法线（$Normal$）以模型顶点为中心的坐标空间。只需要下面两个步骤即可得到规范化的$TBN$矩阵。

$E_1 = \triangle{U_1}T + \triangle{V_1}B$

$E_2 = \triangle{U_2}T + \triangle{V_2}B$

一张图解释三种凹凸贴图的区别：

未完待续

参考

图形学基础 - 纹理 - 纹理映射盘点

Real Time Rendering

Normal Mapping

GAMES101 -现代计算机图形学入门-闫令琪