【线性代数基础进阶】特征值和特征向量

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

 

特征值、特征向量

定义：设$A$是$n$阶矩阵，$\alpha$是$n$维非$0$列向量，且

$A \alpha=\lambda \alpha$

则称$\lambda$是矩阵$A$的特征值，$\alpha$是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量

 

由$A \alpha=\lambda \alpha,\alpha\ne0\Rightarrow (\lambda E-A)\alpha=0,(\lambda E-A)x=0\Rightarrow \alpha$是齐次方程组$(\lambda E-A)x=0$的非$0$解

1. 由$|\lambda E-A|=0$求特征值$\lambda_{i}$，共$n$个（含重根）

2. 对$(\lambda_{i}E-A)x=0$，求基础解系，即特征值$\lambda_{i}$的线性无关的特征向量，写通解得$\lambda_{i}$所有的特征向量

 

定理：如果$\alpha_{1},\alpha_{2}$都是矩阵$A$对应于特征值$\lambda$的特征向量，则当$k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}\ne0$时，$k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2}$仍是矩阵$A$关于特征值$\lambda$的特征向量

 

定理：如果$\lambda_{1}$与$\lambda_{2}$是$A$不同的特征值，对应的特征向量分别是$\alpha_{1}$和$\alpha_{2}$，则$\alpha_{1},\alpha_{2}$必定线性无关

 

定理：设$A$是$n$阶矩阵，特征值是$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$，则有

• $\sum\limits \lambda_{i}=\sum\limits a_{ii}$

• $|A|=\prod \lambda_{i}$

 

例：求$A=\begin{pmatrix}17 & -2 & -2 \\ -2 & 14 & -4 \\ -2 & -4 & 14\end{pmatrix}$特征值，特征向量

 

三阶行列式主对角线元素都含有未知数，直接展开要解三次方程，一般考虑通过行列加减，找出某一行或某一列所有的元素都含有含未知数的公因式或$0$

 

由$A$的特征多项式

因此$\lambda_{1}=\lambda_{2}=18,\lambda_{3}=9$

当$\lambda=18$时，$(18E-A)x=0$

得基础解系：$\alpha_{1}=(-2,1,0)^{T},\alpha_{2}=(-2,0,1)^{T}$，因此特征向量$k_{1}\alpha_{1}+k_{2}\alpha_{2},k_{1},k_{2}$不同时为$0$

当$\lambda=9$时，$(9E-A)x=0$

得基础解系$\alpha_{3}=(1,2,2)^{T}$，因此特征向量$k_{3}\alpha_{3},k_{3}\ne0$

 

对于一个矩阵若，秩等于$1$即存在一行能表示其他所有行，秩等于$2$即存在两行能表示其他所有行，之后同理，类似最大线性无关组

$\begin{pmatrix}-8 & 2 & 2 \\ 2 & -5 & 4 \\ 2 & 4 & -5\end{pmatrix}$求基础解系，本题题解省略的化简步骤，其实化简步骤并不容易，但此处可以用其他思路。

由于已知$|\lambda E-A|=0$，即该矩阵的秩一定小于$3$；随便选两行，这里选二三行，发现二者线性无关（不成比例），因此该矩阵秩大于$1$，可得该矩阵秩为$2$。

由于这两行能线性表示另一行，因此可以构造新的矩阵

$\begin{pmatrix}2 & -5 & 4 \\ 2 & 4 & -5 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$

可以理解为由于这两行能线性表示另一行，因此另一行一定能被全消为$0$

此时只需对新的矩阵行化简即可

 

设$A \alpha=\lambda \alpha,\alpha\ne0$，则有

• $(A+kE)\alpha=(\lambda+k)\alpha$

• $A^{n}\alpha=\lambda^{n}\alpha$

 

例：$A$为$3$阶矩阵，特征值是$-1,0,4$，如果$A+B=2E$，则$B$的特征值为（）

 

设$A \alpha=\lambda \alpha,\alpha\ne0$

由$A+B=2E$，有$B=2E-A$，则

因此$B$的特征值为$3,2,-2$

 

例：$A$是$3$阶矩阵，$A^{2}+2A-3E=0$，证明矩阵$A$的特征值只能是$1$或$-3$

 

设$\lambda$是$A$的任一特征值，对应的特征向量是$\alpha$，即$A \alpha=\lambda \alpha,\alpha\ne0$，那么

由$A^{2}+2A-3E=0$

有

因此$\lambda=1$或$\lambda=-3$

 

从题目条件只能推出矩阵特征值只能是$1$或$-3$

例如：$\begin{pmatrix}1 & &  \\  & 1 &  \\  &  & 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3 &  &  \\  & 3 &  \\  &  & 3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & -2 & -1\end{pmatrix}$

 

例：已知$\alpha=(1,1,-1)^{T}$是$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{pmatrix}$的一个特征向量，则$a=(),b=()$

 

设$A \alpha=\lambda \alpha,\alpha\ne0$

有

可得$\lambda=-1,a=-3,b=0$

 

相似矩阵

设$A,B$都是$n$阶矩阵，如果存在可逆矩阵$P$使

就称矩阵$A$相似与矩阵$B$，$B$是$A$的相似矩阵，记作$A\sim B$

 

相似的基本性质

• $A\sim A$

• 如果$A\sim B$，则$B\sim A$

• 如果$A\sim B,B\sim C$，则$A\sim C$

 

如果$A\sim B$

• $|\lambda E-A|=|\lambda E-B|\Rightarrow \lambda_{A}=\lambda_{B}$

  证明：

  $$\begin{aligned} |\lambda E-B|&=|\lambda E-P^{-1}AP|\\&=|P^{-1}(\lambda E-A)P|\\&=|P^{-1}||\lambda E-A||P|\\&=|\lambda E-A| \end{aligned}$$

• $r(A)=r(B)$

  证明：

  如果$A$可逆，有$r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)$，则

  $$\begin{aligned} r(B)=r(P^{-1}AP)=r(AP)=r(A) \end{aligned}$$

• $|A|=|B|$

  $$|B|=|P^{-1}AP|=|P^{-1}||A||P|=|A|$$

• $\sum\limits a_{ii}=\sum\limits b_{ii}$

• $A^{n}\sim B^{n}$

  $A+kE\sim B+kE$

  $A^{-1}\sim B^{-1}$

 

相似对角化

如果$A\sim \Lambda$，则称矩阵$A$可相似对角化

 

定理：$A\sim \Lambda\Leftrightarrow A$有$n$个线性无关的特征向量

证明：

如果$A \alpha_{1}=\lambda_{1}\alpha_{1},A \alpha_{2}=\lambda_{2}\alpha_{2},A \alpha_{3}=\lambda_{3}\alpha_{3}$，且$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，则

令$P=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$，由于$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，则$P$可逆，有

必要性得证

如果$P^{-1}AP=\Lambda$，有

因此有

又因为$P=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$可逆，则$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，充分性得证、

 

推论：如果$A$有$n$个不同的特征值，则$A\sim \Lambda$

 

定理：$A\sim \Lambda\Leftrightarrow \lambda$是$A$的$k$重特征值，则$\lambda$有$k$个线性无关的特征向量

 

相似对角化解题步骤：

1. 求特征值$\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$

2. 求特征向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$

3. 构造可逆矩阵$P=(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3})$，则$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda_{1} &  &  \\  & \lambda_{2} &  \\  &  & \lambda_{3}\end{pmatrix}$

 

例：已知$A=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\  0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}$，求可逆矩阵$P$，使$P^{-1}AP=\Lambda$

 

由特征多项式

则$A$的特征值$1,1,-1$

当$\lambda=1$时，由$(E-A)x=0$

特征向量$\alpha_{1}=(0,1,0)^{T},\alpha_{2}=(1,0,1)^{T}$

当$\lambda=-1$时，由$(-E-A)x=0$

特征向量$\alpha_{3}=(-1,0,1)^{T}$

令

有

 

例：已知$A=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}$相似

• 求$x,y$

• 求可逆矩阵$P$使$P^{-1}AP=B$

 

由于$A\sim B$，有

 

可以选$(1),(2)$或单独选$(3)$，一般选$(1),(2)$，计算较简单

 

或

$B$的特征值$2,y,-1$，则$\lambda=-1$是$A$的特征值，有

若用$\lambda=2$，有

若用$\lambda=y$，有

 

该式需要结合上面的$(1),(2),(3)$使用，或者选择两个不相关的使用，例如$\lambda=0,\lambda=y$搭配

该方法当出现本题$\lambda=2$时$|2E-A|$本身有一行就为$0$或两行成比例，则需要换$\lambda$或用$(1),(2),(3)$方法

 

解得$x=0,y=1$，代入题设有

此处省略步骤，可得

 

实对称矩阵

向量的内积

定义：设$\alpha=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})^{T},\beta=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})^{T}$，有

 

如果$(\alpha,\beta)=0$，称$\alpha$与$\beta$正交

 

$(\alpha,\alpha)=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}$，称$\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots+a_{n}^{2}}$为向量$\alpha$的长度，记作$||\alpha||$

 

内积的性质

• $(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$

• $(k \alpha,\beta)=(\alpha,k \beta)=k(\lambda,\beta)$

• $(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$

• $(\alpha,\alpha)\geq0$，等号当且仅当$\alpha=0$时成立

 

例：求与$\alpha_{1}=(-1,-1,1)^{T},\alpha_{2}=(1,2,1)^{T}$都正交的向量

 

设$\alpha=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}$与$\alpha_{1},\alpha_{2}$都正交，则$\alpha^{T}\alpha_{1}=0,\alpha^{T}\alpha_{2}=0$

有

基础解系$(1,0,1)^{T}$，因此$\alpha=k(1,0,1)^{T}$

 

正交矩阵

定义：$A$是$n$阶矩阵，若$AA^{T}=A^{T}A=E$，则称$A$是正交矩阵

 

如果$A$是正交矩阵

$\Leftrightarrow A^{T}=A^{-1}$

$\Leftrightarrow A$的列向量都是单位向量且两两正交

 

如果$A$是正交矩阵$\Rightarrow |A|$为$1$或$-1$

证明：

因此$|A|$为$1$或$-1$

 

实对称矩阵

定理：实对称矩阵必可相似对角化

 

定理：实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交

 

定理：实对称矩阵必存在正交矩阵$Q$，使$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

 

例：$A$为$3$阶实对称矩阵，满足$A^{2}=A$，如果$r(A-E)=2$，则$A$的特征值（）

 

设$A \alpha =\lambda \alpha,\alpha \ne 0$，则

由$A^{2}=A$，有

因此$\lambda$是$1$或$0$，又由于$A$是实对称矩阵，$r(A-E)=2$，有

$\Lambda$与$A$相似，即特征值相同，又有$r(\Lambda-E)=2$，则可构造

因此$A$的特征值为$1,0,0$

 

求$Q^{-1}AQ=Q^{T}AQ=\Lambda$

1. 求出$A$的特征值$\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3}$

2. 求出对应的特征向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$

3. 该特征向量为$\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}$

         1. 如果特征值不同，只需单位化（实对称矩阵不同特征值所对应的特征向量相互正交）

         2. 若特征值有重根

                  1. 如果特征向量已正交，只需单位化

                  2. 如果特征向量不正交，需施密特（Schmidt）正交化

4. 构造正交矩阵$Q=(\gamma_{1},\gamma_{2},\gamma_{3}),Q^{-1}AQ=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_{1} &  &  \\  & \lambda_{2} &  \\  &  & \lambda_{3}\end{pmatrix}$

 

例：已知$A=\begin{pmatrix}1 & a & -1 \\ a & 3 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{pmatrix}$，若$r(A)=2$，求$a$，求正交矩阵$Q$和对角矩阵$\Lambda$，使$Q^{-1}AQ=\Lambda$

 

求$a$可以用行变换，这里用秩的定义，即行列式不为$0$。由于$A$中有二阶子式

于是$r(A)=0 \Leftrightarrow |A|=0$

因此$a=-1$，有

由$A$的特征多项式

因此$A$的特征值为$0,1,4$

对$\lambda=1$

对$\lambda=4$

对$\lambda=0$

实对称矩阵，特征值不同，特征向量已经正交，只需单位化

令

则