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图的应用——关键路径算法
关键路径
如果要对一个流程图获得最短时间，就必须要分析它们的拓扑关系，并找到当中最关键的流程，这个流程的时间就是最短时间。
在一个表示工程的带权有向图中，用顶点表示时间，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称之为AOE网（Activity On Edge Network）。把AOE网中没有入边的顶点称之始点或源点，没有出边的顶点称为源点或汇点。由于一个工程，总有一个开始，一个结束，所以正常情况下AOE网只有一个源点一个汇点。如图所示。
既然AOE网是表示工程流程的，所以它就具有明显的工程的特性。如有在某顶点所代表的事件发生后，从该顶点出发的各活动才能开始。只有在进入某顶点的各活动都已经结束，该顶点所代表的事件才能发生。
尽管AOE网与AOV网都是用来对工程建模的，但它们还是有很大的不同的，主要体现在AOV网是顶点表示活动的网，它只描述活动之间的制约关系，而AOE网是用边表示活动的网边上的权值表示活动持续的时间，如下图所示两图的对比。因此，AOE网是要建立在活动之间制约关系没有矛盾的基础之上，再来分析完成整个工程至少需要多少时间，或者为缩短完成工程所需时间’应当加快哪些活动等问题。
路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点且有最大长度的路径叫关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。在上图中就是关键路径，路径好穿那个地为5.5。
1.1 关键路径算法原理
关键路径算法需要定义几个参数：
- 事件的最早发生时间etv（earliest time of vertex）：即顶点的最早发生时间。
- 事件的最晚发生时间ltv（latest time of vertex）：即顶点的最晚发生时间，也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此时间会延误整个工期。
- 活动的最早开工时间ete（earliest time of edge）：即弧的最早发生时间。
- 活动的最晚开工时间lte（latest time of edge）：即弧的最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间。
由1和2可以求得3和4，再根据ete[k]是否与lte[k]相等来判断顶点是否是关键活动。
1.2 关键路径算法
将AOE网转化成邻接表结构如图所示，注意与拓扑排序的不同的地方在于，弧链表增加了weight域，用来存储弧的权值。
只有缩短关键路径上关键活动的时间才可以减少整个工期长度。
只需要找到所有活动的最早开始时间和最晚开始时间，并且比较它们，如果相等就意味着此活动是关键活动，活动间的路径为关键路径。如果不等，则就不是。
关键路径算法的全局变量：
int *etv,*ltv; /* 事件最早发生时间和最迟发生时间数组 */
int *stack2; /* 用于存储拓扑序列的栈 */
int top2; /* 用于stack2的指针 */
关键路径算法的改进拓扑序列算法：
/* 拓扑排序 */
Status TopologicalSort(GraphAdjList GL)
{ /* 若GL无回路，则输出拓扑排序序列并返回1，若有回路返回0。 */
EdgeNode *e;
int i,k,gettop;
int top=0; /* 用于栈指针下标 */
int count=0;/* 用于统计输出顶点的个数 */
int *stack; /* 建栈将入度为0的顶点入栈 */
stack=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) );
for(i = 0; i<GL->numVertexes; i++)
if(0 == GL->adjList[i].in) /* 将入度为0的顶点入栈 */
stack[++top]=i;
top2=0;
etv=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) ); /* 事件最早发生时间数组 */
for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)
etv[i]=0; /* 初始化 */
stack2=(int *)malloc(GL->numVertexes * sizeof(int) );/* 初始化拓扑序列栈 */
printf("TopologicalSort:\t");
while(top!=0)
{
gettop=stack[top--];
printf("%d -> ",GL->adjList[gettop].data);
count++; /* 输出i号顶点，并计数 */
stack2[++top2]=gettop; /* 将弹出的顶点序号压入拓扑序列的栈 */
for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next)
{
k=e->adjvex;
if( !(--GL->adjList[k].in) ) /* 将i号顶点的邻接点的入度减1，如果减1后为0，则入栈 */
stack[++top]=k;
if((etv[gettop] + e->weight)>etv[k]) /* 求各顶点事件的最早发生时间etv值 */
etv[k] = etv[gettop] + e->weight;
}
}
printf("\n");
if(count < GL->numVertexes)
return ERROR;
else
return OK;
}
关键路径核心算法代码：
/* 求关键路径,GL为有向网，输出G的各项关键活动 */
void CriticalPath(GraphAdjList GL)
{
EdgeNode *e;
int i,gettop,k,j;
int ete,lte; /* 声明活动最早发生时间和最迟发生时间变量 */
TopologicalSort(GL); /* 求拓扑序列，计算数组etv和stack2的值 */
ltv=(int *)malloc(GL->numVertexes*sizeof(int));/* 事件最早发生时间数组 */
for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)
ltv[i]=etv[GL->numVertexes-1]; /* 初始化 */
printf("etv:\t");
for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)
printf("%d -> ",etv[i]);
printf("\n");
while(top2!=0) /* 出栈是求ltv */
{
gettop=stack2[top2--];
for(e = GL->adjList[gettop].firstedge; e; e = e->next) /* 求各顶点事件的最迟发生时间ltv值 */
{
k=e->adjvex;
if(ltv[k] - e->weight < ltv[gettop])
ltv[gettop] = ltv[k] - e->weight;
}
}
printf("ltv:\t");
for(i=0; i<GL->numVertexes; i++)
printf("%d -> ",ltv[i]);
printf("\n");
for(j=0; j<GL->numVertexes; j++) /* 求ete,lte和关键活动 */
{
for(e = GL->adjList[j].firstedge; e; e = e->next)
{
k=e->adjvex;
ete = etv[j]; /* 活动最早发生时间 */
lte = ltv[k] - e->weight; /* 活动最迟发生时间 */
if(ete == lte) /* 两者相等即在关键路径上 */
printf("<v%d - v%d> length: %d \n",GL->adjList[j].data,GL->adjList[k].data,e->weight);
}
}
}
