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接收分集，单发多收，简单的场景建模如下。
使用数学表达式，矩阵方式表示如下。
对每路接收使用不同的权重w，则最后的接收可以表示如下。
从最后的数学表达式开始进行分析，信噪比SNR定义为信号能量处于噪声能量，信号部分能量可以通过信道估计或者导频信号的处理获得，但是噪声无法进行测量，需要采用统计平均方法获得。
对于噪声，假设下面两个条件成立。首先，不同接收天线之间的噪声是相互独立的。其次，噪声服从高斯分布。以下的推导会利用噪声的两个特性，将一些处理项可以删除。
最后信噪比可以表示成
那么如何使信噪比达到最大呢？
对权重系数进行归一化之后，可以看到要使信噪比达到最大，取决于权重系数，因为对于h，对于信道在某一时刻是确定的。
要使向量w和h的内积最大，则向量w和h的夹角为0，即在同一直线上。
最后代入可以求得最大信噪比的表达式。
参考：
www.sharetechnote.com/html/Commun…
参考： www.gaussianwaves.com/2009/12/har…
以一个简单的奇偶校验编码来描述硬判决和软判决的区别。
表1 码字集合
在上面的表格中，传输的信息比特是Bit1和Bit2，校验比特为Bit1⊕Bit2。
现在假设传输的信息比特是‘01’，那么校验比特是‘1’。由于是数字信号，使用电压0V表示传输的比特‘0’，使用电压1V表示传输的比特‘1’。
采用硬判决的策略，在接收端，使用0.5V作为判决门限，小于门限判决为‘0’，大于门限判决为‘1’。从图1中可以看出，最后的判决结果是‘001’。
图 1 硬判决过程
很明显，这个结果不属于表1中的码字集合，传输中有错误发生。但是奇偶校验只能发现传输错误的发生，但是不能实现纠错。
使用汉明距离，即比较其中的比特不相同的个数，接收码字与表1中的码字进行比较结果如下。
表2 汉明距离结果
从表2中的结果可以看到，前3个汉明距离都一样，只能随机选择一个作为最后的输出结果。
从硬判决的结果来看，最后选择的结果正确的概率是1/3。
下面来看下软判决的处理过程。
硬判决比较的是汉明距离，而软判决比较的是欧氏距离。
表3 欧式距离结果
欧氏距离，在这个例子中，可以简单理解成三维空间中，接收到的结果与各个码字的距离。选取欧氏距离最小的作为最后输出，从表3的结果中可以看到，最后的输出结果是‘011’。
在某些情况下，例如接收电平分别是0.2V，0.2V，0.6V时候，此时计算出的欧氏距离，其中‘000’与‘011’的结果是一样的，还是存在误判的可能。
但是总体来说，软判决对于接收机来说，相对于硬判决还是大概有2dB的增益。
在实际使用中，软判决常常结合前向纠错算法，例如卷积码，LDPC，一起使用。
