【高等数学基础进阶】多元函数微分学-多元函数微分法

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

 

一、复合函数微分法

定理：设$u=u(x,y)$及$v=v(x,y)$在点$(x,y)$具有对$x$及对$y$的偏导数，函数$z=f(u,v)$在对应点$(u,v)$具有连续偏导数，那么复合函数$z=f[u(x,y),v(x,y)]$在点$(x,y)$的两个偏导数都存在，且有

 

graph TD

A(z) -- 这里 --- B(u)

A --- C(v)

B -- 这里 --- D((x))

B --- E(y)

C --- F((x)) & G(y)

 

例如该式$z=f[u(x,y),v(x,y)]$，画出树形图，做对$x$的偏导，树形图底部有几个$x$，就有几项（最底下两个圆的$x$）；连接到某个$x$有几条线，该式就有几个导数（标有这里的两条线表示该项有两个导数组成，即$\begin{aligned} \frac{dz}{dy} \frac{du}{dx}\end{aligned}$）

 

全微分形式的不变性

设函数$z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)$都有连续的一阶偏导数，则复合函数$z=f[u(x,y),v(x,y)]$的全微分

 

二、隐函数微分法

由方程$F(x,y)=0$确定的隐函数$y=y(x)$

 

由方程$F(x,y,z)=0$确定的隐函数$z=z(x,y)$

若$F(x,y,z)$在点$P(x_{0},y_{0},z_{0})$的某一邻域内有连续偏导数，且$F(x_{0},y_{0},z_{0})=0,F'_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})\ne 0$，则方程$F(x,y,z)=0$在点$(x_{0},y_{0},z_{0})$的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数$z=z(x,y)$，并有

 

如果$F'_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})\ne 0$，那么$z$就是$x,y$的函数，如果$F'_{y}(x_{0},y_{0},z_{0})\ne 0$。那么$y$就是$x,z$的函数，其余同理

这个很重要，这里先不解释，要看的话直接看最后

 

常考题型与典型例题

复合函数的偏导数与全微分

例1：设函数$\begin{aligned} F(x,y)=\int_{0}^{xy}\frac{\sin t}{1+t^{2}}dt\end{aligned}$，则$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}=()\end{aligned}$

 

 

由于是对$x$偏导，因此可以将$y$先带进去

 

 

这里设$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}=\phi (x)\end{aligned}$，由于$\phi (x)=0$，因此

$\begin{aligned} \frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}\Big|_{\substack{x=0\\ y=2}}^{}&=\phi (x)'\Big|_{x=0}^{}=\phi '(0)\\&=\lim\limits_{x\to0}\frac{\phi (x)-\phi (0)}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\phi (x)}{x}\end{aligned}$

 

例2：设$\begin{aligned} z=\left(1+ \frac{x}{y}\right)^{\frac{x}{y}}\end{aligned}$，则$dz \Big|_{(1,3)}^{}=()$

 

 

例3：设函数$f(u,v)$具有$2$阶连续导数$y=f(e^{x},\cos x)$，求$\begin{aligned} \frac{dy}{dx}\Big|_{x=0}^{},\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\Big|_{x=0}^{}\end{aligned}$

 

graph TD

A(y) --- B(u)

A --- C(v)

B --- D(x)

C --- F(x)

 

 

一定注意$f_{1}$仍然是$f_{1}(e^{2},\cos x)$，因此对$x$求导，也是两项

 

例4：设函数$z=f(xy,yg(x))$，其中函数$f$具有二阶连续偏导数，函数$g(x)$可导且在$x=1$处取得极值$g(1)=1$，求$\begin{aligned} \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}\Big|_{\substack{x=1\\ y=1}}^{}=()\end{aligned}$

 

graph TD

A(z) --- xy

xy --- 1(x)

xy --- 2(y)

A --- 3("yg(x)")

3 --- y

3 --- 4("g(x)")

4 --- x

 

 

也可以用先带后求

 

 

隐函数的偏导数与全微分

例5：若函数$z=z(x,y)$由方程$e^{x+2y+3z}+xyz=1$确定，则$dz \Big|_{(0,0)}^{}=()$

 

由$x=0,y=0$，知$z=0$。方程$e^{x+2y+3z}+xyz=1$两端微分，得

将$x=0,y=0,z=0$代入上式得

则

 

用该方法显然需要微分好求，如果第二项是$\begin{aligned} \frac{xyz}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}+z^{2} }}\end{aligned}$，显然该方法并不好

补充微分四则运算

$\begin{aligned} d(f(x)+g(x))&=df(x)+dg(x)\\d(f(x)-g(x))&=df(x)-dg(x)\\d(f(x) \times g(x))&=g(x) \times df(x)+f(x) \times d g(x)\\d \frac{f(x)}{g(x)}&=\frac{g(x) \times df(x)-f(x) \times dg(x)}{g(x)^{2}}\end{aligned}$

有点类似于导数的四则运算

 

也可以分别求出$z_{x}(0,0),z_{y}(0,0)$

 

这里只是对$x$求一次偏导，显然$y$可以先代入

 

由$x=0,y=0$知$z=0$

在$e^{x+2y+3z}+xyz=1$中令$y=0$得，$e^{x+3z}=1$，两边对$x$求导得

同理可得$z_{y}(0,0)= - \frac{2}{3}$

则

 

例6：已知$u+e^{u}=xy$，求$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}\end{aligned}$

 

求一阶偏导，一般有三种方法

 

两端同时对$x$求偏导

 

注意此处由于是对$x$求偏导，显然$u$是$x,y$的函数，因此$u$不能看做常数

 

也可用定义法

 

这里根据定义法要求，需要将所有式子移到一边，即

$F(x,y,u)=u+e^{u}-xy$

对任何一个变量求导，其他变量看做常数，例如

$F_{x}=-y,F_{y}=-x,F_{u}=1+e^{u}$

 

也可两边同时求微分，主要应用微分形式不变性

 

个人理解，这里微分形式不变性，是指等式两边同时取微分，计算时看等式一边出现了哪些变量，则就有$d$哪些变量，然后前面的式子就是对该侧等式对该变量的微分。例如本题，两边同时取微分

$d(u+e^{u})=dxy$

看等式左边，出现了$u$，因此，就有$du$，然后左边的式子对$u$求偏导，即

$1+e^{u}du=dxy$

看等式右边，出现了$x,y$，因此，就有$dx,dy$，然后右边的式子对$x$求偏导，写在$dx$前，对$y$求偏导，写在$dy$前

$(1+e^{u})du=ydx+xdy$

整理可得

$du=\frac{y}{1+e^{u}}dx+ \frac{x}{1+e^{u}}dy$

 

 

例7：设函数$z=z(x,y)$由方程$\begin{aligned} F\left(\frac{y}{x},\frac{z}{x}\right)=0\end{aligned}$确定，其中$F$为可微函数，且$F_{2}'\ne 0$，则$\begin{aligned} x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z }{\partial y}=()\end{aligned}$

 

该类题一般用定义法求偏导比较简单

例如对$x$，$\begin{aligned} F\left(\frac{y}{x},\frac{z}{x}\right)\end{aligned}$有三个位置都需要求导，因此无论是两边同时求导还是求微分，都需要对着三项求导，会比较麻烦

 

 

例8：设$u=f(x,y,z)$有连续的一阶偏导数，又函数$y=y(x)$及$z=z(x)$分别由下列两式确定：$e^{xy}-xy=2$和$\begin{aligned} e^{x}=\int_{0}^{x-z}\frac{\sin t}{t}dt\end{aligned}$，求$\begin{aligned} \frac{du}{dx}\end{aligned}$

 

画树形图两边对$x$求导可以，这里不赘述

这里考虑两边同时取微分，利用微分形式不变性。微分形式不变性不需要考虑各变量之间的关系，要什么留什么

 

 

如果用$f$对$x$，偏导，由于$y,z$是$x$的函数，写出来会比较麻烦，根据微分形式不变性，只需要同时取微分，不需要研究各变量之间的关系

例如本题，因为$dy$前是$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y}\end{aligned}$不涉及$x$，如果后面需要$x$，按照题目给出的，想办法将$dy$换成$dx$即可，不需要在该式上继续计算

 

$e^{xy}-xy=2$两端取微分

$\begin{aligned} e^{x}=\int_{0}^{x-z}\frac{\sin t}{t}dt\end{aligned}$两边取微分

因此

 

例9：设$z=z(x,y)$是由方程$x^{2}+y^{2}-z=\phi (x+y+z)$所确定的函数，其中$\phi$具有二阶导数，且$\phi '\ne 1$

• 求$dz=()$

• $\begin{aligned} u(x,y)=\frac{1}{x-y}\left(\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y}\right)\end{aligned}$，求$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}\end{aligned}$

 

虽然$\phi (x+y+z)$其中的变量是$x+y+z$，但求导的时候仍然正常求，对$x$求导只需要看成符合了两次就行

 

设$F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z-\phi (x+y+z)=0$

还可以用两边同时取微分，思路和上面基本相同

由于 $\begin{aligned} u(x,y)=\frac{1}{x-y}\left(\frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y}\right)\end{aligned}$，所以

 

说一下

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}}{F_{z}}$

怎么来的

已知$z=(x,y)$由$F(x,y,z)=0$，或只给了$F(x,y,z)=0$

$\begin{aligned} F(x,y,z)&=0\\&两边同时对x求导\\F_{x}+F_{z}\frac{\partial z}{\partial x}&=0\\\frac{\partial z}{\partial x}&=-\frac{F_{x}}{F_{z}}\end{aligned}$

这里的$F_{x}$可以理解为

$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}(x,y,z(x,y))\end{aligned}$

而$\begin{aligned} F_{x}+F_{z}\frac{\partial z}{\partial x}\end{aligned}$可以理解为

$\frac{\partial }{\partial x}(F(x,y,z(x,y)))$

因此$F_{x}$是要把$y,z$看做常量

思路来源：

作者：盗铃人

链接：函数u=f(x,y,z),u对x的偏导与f对x的偏导有什么区别？ - 知乎 (zhihu.com)

如果题目中给出已知$z=z(x,y)$由$F(x,y,z)=0$确定，求偏导$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}\end{aligned}$一定能用公式法，求$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}\end{aligned}$就要把$y,z$看做常数

已知$z=z(x,y)$由$F(x,y,z)=0$确定，$z=z(x,y)$可以看做移项得来的（移项可能得不到），因此地位也相同，所以求$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}\end{aligned}$也把$y,z$看做常数

如果只有$F(x,y,z)=0$，需要自己判断关系，是否有$x,y,z$其中一个符合定理，如果符合定理，求偏导$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}\end{aligned}$就能用公式法，$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}\end{aligned}$无论有没有隐函数关系，都要把$y,z$看做常数

上面提到的定理为

由方程$F(x,y,z)=0$确定的隐函数$z=z(x,y)$

若$F(x,y,z)$在点$P(x_{0},y_{0},z_{0})$的某一邻域内有连续偏导数，且$F(x_{0},y_{0},z_{0})=0,F'_{z}(x_{0},y_{0},z_{0})\ne 0$，则方程$F(x,y,z)=0$在点$(x_{0},y_{0},z_{0})$的某邻域可唯一确定一个有连续偏导数的函数$z=z(x,y)$，并有

$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_{x}}{F'_{z}},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_{y}}{F'_{z}}$

如果给出$z=z(x,y)$和$F(x,y,z)$，那么此时不能用公式法，此时$z$是$x,y$的因变量，求偏导$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial x}\end{aligned}$时，$y$依旧可以看做常数，但$z$不是，需要求$\begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\end{aligned}$，且$\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x}\end{aligned}$不能用定义法

思路来源：

作者：百度网友6802f3c

链接：隐函数求偏导数。如图，为什么F对x求偏导能把z看成常数？z不是对x的导数吗~？_百度知道 (baidu.com)