【高等数学基础进阶】多元函数微分学-重极限、连续、偏导数、全微分

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二元函数

定义：设$D$是平面上的一个点集，若对每个点$P(x,y)\in D$，变量$z$按照某一对应法则$f$有一个确定的值与之对应，则称$z$为$x,y$的二元函数，记为

其中点集$D$称为该函数的定义域，$x,y$称为自变量，$z$称为因变量，函数$f(x,y)$的全体所构成的集合称为函数$f$的值域，记为$f(D)$

 

通常情况下，二元函数$z=f(x,y)$在几何上表示一张空间曲面

 

二元函数的极限

定义：设函数$f(x,y)$在区域$D$上有定义，点$P_0(x_0,y_0)\in D$或为$D$的边界点，如果$\forall \xi>0$，存在$\xi>0$，当$P(x,y)\in D$，且$0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\xi$时，都有

成立，则称常数$A$为函数$f(x,y)$当$(x,y)\to(x_0,y_0)$时的极限，记为

 

注：

1. 这里的极限是要求点$(x,y)$在$D$内以任意方式趋近于点$(x_{0},y_{0})$时，函数$f(x,y)$都趋近于同一确定的常数$A$，否则该极限不存在

 

当一元的时候，$x$趋近于$x_{0}$只能沿着$x$轴趋向于$x_{0}$，可以左边趋向、右边趋向、两边同时趋向

但是对于多元的时候，是要求$(x,y)$以任意方式趋向$(x_{0},y_{0})$。明显的，过$(x_{0},y_{0})$的直线有无穷多条，而且是任意方式，$(x,y)$还可以沿着曲线趋向$(x_{0},y_{0})$，沿着离散点趋向$(x_{0},y_{0})$。即如果按照任意方式趋向于$(x_{0},y_{0})$如果极限不存在，那么极限就不存在

 

2. 一元函数极限中的下列性质对多元函数仍然成立：

         - 局部有界性：若$\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)$存在，则$f(x)$在$x_{0}$某去心邻域有界（即局部有界）

         - 保号性：设$\lim\limits_{x\to x_{0}}f(x)=A>0$，如果$A>0$（或$A<0$），则存在$\delta>0$，当$x\in \mathring U(x_{0},\delta)$时，$f(x)>0$（或$f(x)<0$）

         - 有理运算法则：若$\lim f(x)=A,\lim g(x)=B$，那么

                  - $\lim (f(x)\pm g(x))=\lim f(x)\pm \lim g(x)$

                  - $\lim(f(x)\cdot g(x))=\lim f(x)\cdot \lim g(x)$

                  - $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}\quad(B\ne0)$

         - 极限与无穷小的关系：$\lim f(x)=A\Leftrightarrow f(x)=A+\alpha(x)$，其中$\lim \alpha(x)=0$

         - 夹逼定理：若存在$N$，当$n>N$时，$x_{n}\leq y_{n}\leq z_{n}$，且$\lim\limits_{n\to \infty}x_{n}=\lim\limits_{n\to \infty}z_{n}=a$，则$\lim\limits_{n\to \infty}y_{n}=a$

 

多元函数没有洛必达法则

 

例1：求极限$\begin{aligned} \lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}\end{aligned}$

 

对于$\frac{0}{0}$初步判断，如果上面次数高极限为$0$，如果下面次数高极限为无穷，如果上下次数一样极限不存在

 

因此极限为$0$

 

初步判断后如果判断为$0$，常用方法为取绝对值，用夹逼

此处需要条件

$f(x)\to 0 \Leftrightarrow |f(x)| \to 0$

用极限的定义可以证明，

对于$x\to x_{0},f(x)\to0$，有$\forall \xi >0,\exists \delta$，当$0<|x-x_{0}|<\delta$时,有

$\begin{aligned}|f(x)-0|&< \xi \\|f(x)|&< \xi \end{aligned}$

对于$x\to x_{0},|f(x)|\to0$，有$\forall \xi >0,\exists \delta$，当$0<|x-x_{0}|<\delta$时,有

$\begin{aligned}||f(x)|-0|&< \xi \\|f(x)|&< \xi \end{aligned}$

显然二者等价，因此推广到多元函数，有

$f(x,y)\to0 \Leftrightarrow |f(x,y)|\to 0$

 

例2：证明极限$\begin{aligned} \lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}\end{aligned}$不存在

 

当$k$不同时，极限不同，因此不存在

 

证明极限不存在，一般选过该点不同的直线，如果不同直线对应极限不同则极限不存在

 

多元函数的连续性

连续的概念：

 

连续函数的性质

性质1：多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是连续函数

 

性质2：多元连续函数的复合函数也是连续函数

 

性质3：多元初等函数在其定义域内连续

 

性质4:（最大值定理）：有界闭区域$D$上的连续函数在区域$D$上必能取得最大值与最小值

 

性质5（介值定理）：有界闭区域$D$上的连续函数在区域$D$上必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

偏导数

偏导数的定义：

 

例3：$\begin{aligned} f(x,y)=\frac{2x+3y}{1+xy \sqrt{x^{2}+y^{2}}}\end{aligned}$，则$f_{x}(0,0)=()$

 

可以先求导，然后代入，但比较麻烦，也可以先代入然后求导

 

 

二元函数偏导数的几何意义

 

在$(x_{0},y_{0})$处对$x$偏导数，表示当$y=y_{0}$时对应的曲线在$x_{0}$处切线的斜率

 

高阶偏导数

定义

 

定理1：如果函数$z=f(x,y)$的两个混合偏导数在区域$D$/某点内连续，则在该区域内/该点

 

全微分

定义：若

则称函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处可微

 

其中$\rho$就是动点到定点的距离

 

定理2（可微的必要条件）：如果$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处可微，则在点$(x_{0},y_{0})$处$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，且

 

证明：

设函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处可微，则有

令$\Delta y=0,\Delta x\to0$，则有

 

用定义判断可微性

1. $f_{x}(x_{0},y_{0})$与$f_{y}(x_{0},y_{0})$是否都存在

    注意这里用定义，而非直接求导

2. $\begin{aligned} \lim\limits_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-[f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y] }{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\end{aligned}$是否为零

 

定理3（可微的充分条件）：如果$z=f(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z }{\partial y}$在点$(x_{0},y_{0})$处连续，则函数$z=f(x,y)$在点$(x_{0},y_{0})$处可微

 

连续、可导、可微的关系

 

 

常考题型与典型例题

例4：判断二元函数$f(x,y)=\left\{\begin{aligned}&\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\ne (0,0)\\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.$在点$(0,0)$处的连续性和偏导数是否存在

 

显然极限不存在

 

由于不知道偏导数是否存在，因此只能用定义或者先带后求

 

定义

 

先带后求

在$x=0$处函数值为$0$，在$x=0$周围也为$0$，可以看做常函数$x=0$，因此可导，且导数值为$0$

 

$y$同理，因此偏导数存在

 

例5：设连续函数$z=f(x,y)$满足$\begin{aligned} \lim\limits_{\substack{x\to 0\\ y\to 1}}\frac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0\end{aligned}$，则$dz \Big|_{(0,1)}^{}=()$

 

根据定义

但是本题中没有$\Delta x,\Delta y$，因此，设$x_{0}+\Delta x=x,y_{0}+\Delta y=y$，有

根据条件$\begin{aligned} \lim\limits_{\substack{x\to 0\\ y\to 1}}\frac{f(x,y)-2x+y-2}{\sqrt{x^{2}+(y-1)^{2}}}=0\end{aligned}$，可知

又因为$f(x,y)$连续，有$\lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to 1}}f(x,y)=f(0,1)$有

代回$(1)$

 

此处主要是为了凑 $\Delta z=f(x,y)-f(x_{0},y_{0})=A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+o(\sqrt{(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}})$

 

因此在$(0,1)$处$f(x,y)$可微，且有

因此$A=2,B=-1$，即

 

例6：证明以下几个经典的反例

$f(x,y)=|x|+|y|$在$(0,0)$点连续，但不可导（也不可微）

 

因此显然不可导

 

$\begin{aligned} f(x,y)=\left\{\begin{aligned}&\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\ne (0,0)\\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.\end{aligned}$在$(0,0)$点可导，但不连续

 

显然极限不存在

在$x=0$处函数值为$0$，在$x=0$周围也为$0$，可以看做常函数$x=0$，因此可导，且导数值为$0$

 

个人理解，$\begin{aligned} f(x,y)=\left\{\begin{aligned}&\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\ne (0,0)\\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.\end{aligned}$，由于 $\lim\limits_{\substack{x\to0\\y\to0}}f(x,y)=\lim\limits_{\substack{x\to0\\y=kx}}=\frac{k}{1+k^{2}}$

该式显然$k \ne 0$（如果$k=0$，则$y=0$不合题设），且$k \ne \infty$，因此$f(x,y)$在沿$x,y$轴的方向上连续，且存在偏导；在除了$x,y$轴以外的方向上，即$y=kx$存在的方向上，$f(x,y)$不连续，偏导存在但与该方向无关（偏导本身就是沿着$x$或$y$方向的）

 

$\begin{aligned} f(x,y)=\left\{\begin{aligned}&\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\ne (0,0)\\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.\end{aligned}$在$(0,0)$点可导，但不连续

 

在上面已证可导，且$f_{x}=0,f_{y}=0$

 

用定义判断可微性

1. $f_{x}(x_{0},y_{0})$与$f_{y}(x_{0},y_{0})$是否都存在

2. $\begin{aligned} \lim\limits_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)}\frac{\Delta z-[f_{x}(x_{0},y_{0})\Delta x+f_{y}(x_{0},y_{0})\Delta y] }{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\end{aligned}$是否为零

 

 

$\begin{aligned} f(x,y)\left\{\begin{aligned}&(x^{2}+y^{2})\sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}&(x,y)\ne (0,0)\\&0&(x,y)=(0,0)\end{aligned}\right.\end{aligned}$在$(0,0)$点可微，但偏导数不连续

 

还有

再证明偏导数不连续

 

这里不能先代再求

函数的左右导数记为

$f_{-}'(x_{0}),f'_{+}(x_{0})$

导函数的左右极限记为

$f'(x_{0}-),f'(x_{0}+)$

先定义某一定点$(x_{0},y_{0})$处的导数

$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}$

这个极限值被称为$f$在$x_{0}$处的导数，记为$f'(x_{0})$

再从特殊（$x_{0}$）到一半

$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

记

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

由上可知，函数的左右导数是说$f$在某具体点的左右导数

$\begin{aligned} f_{-}'(x_{0})&=\lim\limits_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\\f_{+}'(x_{0})&=\lim\limits_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}\end{aligned}$

而函数的导函数的左右极限

$\begin{aligned}f'(x_{0}-)&=\lim\limits_{x \to x_{0}^{-}}\left(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right)\\f'(x_{0}+)&=\lim\limits_{x \to x_{0}^{+}}\left(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\right)\end{aligned}$

显然二者的对象不同，函数的左右导数强调的是函数，而导函数的左右极限强调的是导函数

作者：留给你柔软肚皮

链接：导函数的左右极限和左右导数有什么区别？ - 知乎 (zhihu.com)

所以说，直接求导不存在并不能说明导数不存在，只能说明，这个f'（x0）是不连续的是吧； 然后，若已知导函数f'（x）在x0处连续，那么就必须要用直接求导法来求解，如果用定义法的话，那一定会缺漏一些东西

作者：桥下落花

链接：求导用定义法、公式法结果不一样 - 知乎 (zhihu.com)

个人哔哔：或许可以这么理解，就像本题，在$(0,0)$处，设$\Delta x \to 0$，那么$f(0+\Delta x)\to 0$，这是由定义法求得的，但是，这的函数的增量是存在的，即使增量$\to 0$，正因为增量不能忽略，此处导函数的极限就不为$0$，也就是上面所说缺漏的东西

 

显然当$x \to 0,y \to 0$极限不存在