图形学的数学基础（二十六）：step和smoothStep

阶梯函数 $step$

$step$ 函数接受两个参数,一个边界值 $edge$ ,一个输入变量 $x$ ,当 $x >= edge$ 时,返回1, 否则返回0。

carbon (4).png

函数图像如下:

$smoothStep$ 函数用来生成0到1的平滑过渡值.先看smoothStep函数实现:

通过 $smoothStep$ 函数定义,我们知道:

接下来我们一步步通过函数图像来解释 $smoothStep$ 背后的数学原理. <1> 对于函数 $y = x$ 这个函数,其实就是一条直线:

<2>对于函数 $y = x^2$ ,可以看到它比 $y = x$ 有一个更平滑的过渡:

但是我们发现 $y = x^2$ 的函数图像仍然是不够“平滑的”，为什么呢？我们知道曲线的切线表示了这条曲线的变化率。通过观察我们明显发现，在0附近的变化率要低于1附近的变化率。

<3> $y = 1 - (x-1)^2$ 我们在 $y = x^2$ 的基础上构造另外一条曲线.首先先将 $下^2$ 反转.得到:

将 $y = -x^2$ 向右移动一个单位得到:

然后再向上移动一个单位得到以下函数图像:

此时 $y = 1- (x-1)^2$

可以看到我们构造的第二条曲线在接近1的部分开始变缓,和 $y = x^2$ 从0开始变缓一样.因此我们将这两条曲线混合到一起即可以得到理想情况下的“平滑过渡”：

利用线性插值混合两条曲线：

$y = xf(x) + (1-x)g(x) = x(1-(x-1)^2) + (1-x)x^2 = 3x^2 - 2x^3$