【高等数学基础进阶】不定积分-练习 & 定积分与反常积分-补充本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。不定

本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

不定积分

例：设 $f(\sin^{2}x)= \frac{x}{\sin x}$ ，求 $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)dx$

令 $u=\sin^{2}x$ ，则有 $\sin x=\sqrt{u},x=\arcsin \sqrt{u},f(x)= \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ 代入得

\begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}f(x)dx&=\int\frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}}dx\\ &=-2\int \arcsin \sqrt{x}d \sqrt{1-x}\\ &=-2\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x}+2\int \sqrt{1-x} \frac{1}{\sqrt{1-x}}d \sqrt{x}\\ &=-2\sqrt{1-x}\arcsin \sqrt{x}+2\sqrt{x}+C \end{aligned}

设 $\int^{b}_{a}f(x)dx$ 存在

若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\geq0$ ，则 $\int^{b}_{a}f(x)dx$ 的值等于以曲线 $y=f(x),x=a,x=b$ 及 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积
若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\leq0$ ，则 $\int^{b}_{a}f(x)dx$ 的值等于以曲线 $y=f(x),x=a,x=b$ 及 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积的负值
若在 $[a,b]$ 上 $f(x)$ 的值有正有负，则 $\int^{b}_{a}f(x)dx$ 的值等于 $x$ 轴上方的面积减去 $x$ 轴下方的面积所得之差

例16：求极限 $\begin{aligned}\lim\limits_{x\to0+}\frac{\int^{x}_{0}\sqrt{x-t}e^{t}dt}{\sqrt{x ^{3}}}\end{aligned}$

注意该积分中值定理要求 $f(x),g(x)$ 连续，且 $g(x)$ 不变号

\begin{aligned} 原式&=\lim\limits_{x\to0+}\frac{e^{\xi }\int^{x}_{0}\sqrt{x-t}dt}{\sqrt{x ^{3}}}\\ &=\lim\limits_{x\to0+}\frac{- \frac{2}{3}(x-t)^{\frac{3}{2}}\Big|^{x}_{0}}{\sqrt{x ^{3}}}\\ &=\lim\limits_{x\to0+}\frac{\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}\\ &=\frac{2}{3} \end{aligned}

不一定对 $t$ 积分含有 $x$ 就一定要把 $x$ 弄出来，把 $x$ 当做常数能积出来就不需要其他操作

反常积分在某区间收敛，即意味着该反常积分在积分区间的任一子区间都收敛

定积分应用没啥补充说一下如果题目比较简单，带一般的公式就行，大部分题用公式都能算出来，不太需要二重积分，如果用公式做不出来，再考虑二重积分的方法物理应用上注意理解元素法，会用 $dx,dy$ ，求出一小个元素的参数然后积分就行