1 题目

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎； 如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。 最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1] 输出：1 解释： 组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]， 组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]， 组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]， 组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40] 输出：5

2 解析

题目中的石头磨损，可以理解为，两个数取一正一负。就是通过给数组中元素添加正号和负号，保留最小差值。记石头的总重量为s，负数即$k_i=-1$时的石头的重量之和为 neg，则其余正数,即$k_i= 1$的石头的重量之和为 s−neg。则有

$\sum_{i=0}^{n-1} k_i\cdot\textit{stones}_i = (\textit{s}-\textit{neg})-\textit{neg} = \textit{s}-2\cdot\textit{neg}$

要使最后一块石头的重量尽可能地小，neg 需要在不超过⌊sum/2⌋ 的前提下尽可能地大。因此本问题可以看作是背包容量为 ⌊sum/2⌋，物品重量和价值均为$stones_i$的 0-1 背包问题。

状态：dp数组表示，不超过平均值的重量下，每个重量对应的最大价值的东西，在这里价值同样是重量 状态转移： $dp[j] = max(dp[j],d[j-stones[i]]+stones[i])$

总的重量 - 2×接近平均值重量，就是最小差值

3 python实现

class Solution:
    def lastStoneWeightII(self, stones: List[int]) -> int:
        s  =sum(stones)
        half = s//2
        n = len(stones)
        dp = [0]*(half+1)
        for i in range(n):
            for j in range(half,stones[i]-1,-1):
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-stones[i]]+stones[i])
        return s - 2*dp[half]