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图的定义及相关术语

1 图的定义

图的定点的有穷非空集合和顶尖之间边的集合组成的，通常表示为$G(V,E)$，其中，$G$表示一个图，$V$是图$G$中定点的集合，$E$是图$G$中边的集合。

对于图，有几个需要注意的地方：

1. 线性表中把数据元素叫做元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，称之为顶点(Vertex)。
2. 线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。在图结构中，不允许没有顶点。在定义中，若V是顶点的集合，则强调了顶点集合V有穷非空。
3. 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系。在图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以为空。

• 无向边：若顶点$v_i$到$v_j$之间的边没有方向，则称这条边为无向边，用无序偶对$(v_i,v_j)$表示。

• 有项边：若从顶点$v_i$到$v_j$的边有方向，则称这条边为有向边，也称作弧（Arc），用有序偶对$<v_i,v_j>$表示，$v_i$称作弧尾（Tail），$v_j$称作弧头（Head）。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图$(directed graphs)$。右图就是一个有向图，连接顶点A到D的有向边就是弧，A是弧尾，D是弧头，<A,D>表示弧。

• 在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。下图两个图则称之为复杂图。

• 在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含$n$个顶点的无向完全图有$\frac{n\times (n-1)}{2}$条边。

• 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则该图称为有向完全图。含$n$个顶点的有向完全图有$n\times (n-1)$条边。

• 有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称做稠密图。

• 有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权（Weight），这种带权的图通常称作网(NetWork)。

  

2 图的顶点与边之间的关系

• **对于无向图$G=(V,{E})$，如果边$(v,v')\in E$，则称$v$和$v'$互为邻接点（Adjacent），即$v$和$v'$相邻接。边$(v,v')$依附于顶点$v$和$v’$，或者说$(v,v')$与顶点$v$和$v'$相关联。顶点的$v$的度（Degree）是和$v$相关联的边的数目，记为TD（v）。**在下图中，顶点A和顶点B互为邻接点，边$(A,B)$依附于顶点A与B上，顶点A的度为3。

  

• 对于有向图$G=(V,{E})$，如果边$<v,v'>\in E$，则称$v$邻接到$v'$，顶点$v'$邻接自顶点$v$。弧$<v,v'>$和顶点$v$和$v’$相关联。以顶点$v$为头的弧的数目称为$v$的入度（InDegree），记为ID（v）；以$v$为尾的弧的数目称为$v$的出度（OutDegree），记为OD（v）;顶点$v$的度为$TD(V)=ID(V)+OD(V)$。在下图中，顶点A的入度为2，出度为1，所以顶点A的度为$2+1=3$。

  

• 在树中根结点到任意结点的路径是唯一的，但是图中顶点与顶点之间的路径却是不唯一的。路径的长度是路径上的边或弧的长度。

• **第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环(Cycle)。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。**下图为两个简单环。

  

3 连通图

在无向图$G$中，如果从顶点$v$到顶点$v'$有路径，则称$v$和$v'$是连通的。如果对于图中任意两个顶点$v_i、v_j\in V,v_i和v_j$都是连通的，则称$G$是连通图(Connected Graph)。下图图2、图3即为图1的连通分量。

无向图中的极大连通子图称为连通分量，注意：

1. 是子图。
2. 子图要是连通的。
3. 连通子图具有极大顶点树。
4. 具有极大顶点树的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

在有向图$G$中，如果对于每一对$v_i、v_j\in V,v_i\neq v_j$，从顶点$v_i$到顶点$v_j$和从顶点$v_j$到顶点$v_i$都存在路径，则称$G$是强连通图。有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量。在下图中，图1不是强连通图，顶点A到顶点D存在路径，而D到A不存在。图2是强连通图，即是它的强连通分量。

4 图的定义与术语总结

• 图按照有无方向分为有向图和无向图。有向图由顶点和弧构成，无向图由顶点和边构成。弧有弧尾和弧头之分。
• 图按照边或弧的多少分为稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
• 图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。
• 图上的边或弧上带权则称为网。
• 图中顶点间存在路径，两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连诵图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。

5 图的抽象数据类型

伪代码：

ADT 图(Graph)
Data
    顶点的有穷非空集合和边的集合。
Operation
    CreateGraph(*G,V,VR):按照顶点集V和边弧集VR的定义构造图G。
    DestroyGraph(*G):图G存在则销毁。
    LocateVex(G,u):若图G中存在顶点u，则返回图中的位置。
    GetVex(G,v):返回图G中顶点v的值。
    PutVex(G,v,value):将图G中顶点v赋值value。
    FirstAdjVex(G,*v):返回顶点v的一个邻接顶点，若顶点在G中无邻接结点则返回空。
    NextAjdVex(G,v,*w):返回顶点v相对顶点w的下一个邻接顶点，若w是v的最后一个邻接点则返回空。
    InsertVex(*G,v):在图G中增添新顶点v。
    DeleteVex(*G,v):删除图G中顶点v及其相关的弧。
    InsertArc(*G,v,w):在图G中增添弧<v,w>，若G是无向图，还需要增添对称弧<w,v>。
    DeleteArc(*G,v,w):在图G中删除弧<v,w>，若G是无向图，还需要删除对称弧<w,v>。
    DFSTraverse(G):对图G中进行深度优先遍历，在遍历过程中对每个顶点调用。
    HFSTraverse(G):对图G中进行广度优先遍历，在遍历过程中对每个顶点调用。
endADT