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函数、极限、连续

极限的存在准则补充

例1：极限$\lim\limits_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=()$

 

因此极限不存在

 

需要分左、右极限的问题常见以下三种

• 分段函数分界点处的极限，而在该分界点两侧函数表达式不同（这里也包括带有绝对值的函数，如$\lim\limits_{x\to0}\frac{|x|}{x}$
• $e^{\infty}$型极限（如$\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{1}{x}},\lim\limits_{x\to \infty}e^{x},\lim\limits_{x\to \infty}e^{-x}$）

$\lim\limits_{x\to0^{-}}e^{\frac{1}{x}}=0,\lim\limits_{x\to0^{+}}e^{\frac{1}{x}}=+\infty,\lim\limits_{x\to0}e^{\frac{1}{x}}不存在$

    $\lim\limits_{x\to -\infty}e^{x}=0,\lim\limits_{x\to +\infty}e^{x}=+\infty,\lim\limits_{x\to \infty}e^{x}不存在$         即$e^{\infty}\ne \infty,e^{+\infty}=+\infty,e^{-\infty}=0$    

• $\arctan \infty$型极限（如$\lim\limits_{x\to0} \arctan \frac{1}{x},\lim\limits_{x\to \infty}\arctan x$）

    $\lim\limits_{x\to0^{-}} \arctan \frac{1}{x}=- \frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to0^{+}} \arctan \frac{1}{x}=\frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to0} \arctan \frac{1}{x}不存在$         $\lim\limits_{x\to-\infty}\arctan x=- \frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to+\infty}\arctan x=\frac{\pi}{2},\lim\limits_{x\to \infty}\arctan x不存在$         即$\arctan \infty\ne \frac{\pi}{2},\arctan(+\infty)=\frac{\pi}{2},\arctan(-\infty)=- \frac{\pi}{2}$

 

利用有理运算法则和泰勒公式求极限

例2：设$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x^{2}}=2$，则$a=(),b=()$

 

当分母有因式等于$0$，且该分式去掉该因式后使用加法法则各项不全为$0$，可以乘以该因式用加法法则

 

左右同乘$x$

（此处如果乘$x^{2}$剩下$\lim\limits_{x\to0}x-ax-bx^{2}$每一项都为$0$，所以不可行）

 

本题以本人的能力用这种方法只能算到这里了

 

泰勒展开

对于该式，由于$\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-(ax+bx^{2})}{x^{2}}=2,\lim\limits_{x\to0}\frac{(\frac{1}{2}+b)x^{2}}{x^{2}}=-\frac{1}{2}-b$，因此$\lim\limits_{x\to0}\frac{(1-a)x}{x^{2}}$一定存在，可得$a=1$

带回$(1)$

可得$b=- \frac{5}{2}$

 

观察到分式为极限存在，分母$\to0$，显然分子也$\to0$，因此，可以考虑洛必达法则

 

若$1-a\ne0$则原式极限为$\infty$，当$a=1$带回上式

可得$b=- \frac{5}{2}$

 

无穷小量阶的比较

例3：已知$a,b$为常数，若$(1+ \frac{1}{n})^{n}-e$与$\frac{b}{n^{a}}$在$n\to \infty$时是等价无穷小，求$a,b$

 

如果有因式加减（加可以变成减）等于$0$，可以考虑先化成相同形式，再用拉格朗日中值定理求等价

 

当$n\to \infty$时

由题意知$- \frac{e}{2n}\sim \frac{b}{n^{a}}$，则$a=1,b=- \frac{e}{2}$

 

判断间断点的类型

例4：函数$f(x)=\frac{e^\frac{1}{x-1}\ln|1+x|}{(e^{x}-1)(x-2)}$的第二类间断点的个数为（）

 

只要两个有一个极限不存在即为第二类间断点

 

$k$表示非零常数，对本题求解无影响

$x=0$不是无穷间断点

 

对于$\ln|x|$类型求极限建议使用洛必达法则，因为$(\ln|x|)'=\frac{1}{x}$

 

$x=2$是无穷间断点

$x=1$是无穷间断点

$x=-1$是无穷间断点

综上，有四个无穷间断点

 

导数与微分

导数定义

例1：设函数$f(x)$在$(-1,1)$上有定义，且$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$，说明：

1. 当$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$时，$f(x)$在$x=0$处可导不成立

2. 当$f(x)$在$x=0$处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x^{2}}=0$不成立

3. 当$f(x)$在$x=0$处可导时，$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$成立

 

对于$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$和$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$，都只能说明函数在$0$周围去心邻域的性质，而导数需要研究$x=0$处的函数性质，因此1. 显然不成立

 

$f(x)$在$x=0$处可导，即$f(x)$在$x=0$处连续，由于$\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$，可知$f(0)=0$，根据导数定义

由题意

显然$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}$不一定为$0$，因此2. 不成立

由题意

因此3. 成立