欧几里得算法（Euclidean algorithm）的证明与实现

hexu1985
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欧几里得算法（Euclidean algorithm）的证明与实现

欧几里得算法也称为辗转相除法, 用于计算两个正整数的最大公因数, 一般用(a,b)(a, b)来表示a和b的最大公因数, 计算机领域一般表示成gcd(a,b)gcd(a, b).

首先，我们给出欧几里得算法依赖的一些基本概念的定义：

定义（整除） 如果aa和bb为整数且a≠0a \neq 0，我们说aa整除bb是指存在整数cc使得b=a⋅cb = a \cdot c。如果aa整除bb，我们还称aa是bb的一个因子，且称bb是aa的倍数。

如果aa整除bb，则将其记为a∣ba \mid b，如果aa不能整除bb，则记其为a∤ba \nmid b。

定义（最大公因子） 不全为零的整数aa和bb的最大公因子是指能够同时整除aa和bb的最大整数。

aa和bb的最大公因子记作(a,b)(a, b)。有时也记作gcd(a,b)gcd(a, b)。

注意当nn为正整数时，(0,n)=(n,0)=n(0, n) = (n, 0) = n。

虽然所有的正整数都能够整除00，我们还是定义(0,0)=0(0, 0) = 0。这样可以确保关于最大公因子的相关结论在所有情况下均成立。

然后我们给出欧几里得算法的定理描述和证明过程

欧几里得算法的定理描述如下:

定理（欧几里得算法） 令整数r0=ar_{0} = a，r1=br_{1} = b满足a≥b>0a \ge b > 0， 如果连续做带余除法得到rj=rj+1⋅qj+1+rj+2r_j = r_{j+1} \cdot q_{j+1} + r_{j+2}， 且0<rj+2<rj+10 < r_{j+2} < r_{j+1}（j=0,1,2,⋯ ,n−2j = 0, 1, 2, \cdots, n-2），rn+1=0r_{n+1} = 0， 那么(a,b)=rn(a, b) = r_n，它是最后一个非零余数。

从定理中我们看到通过连续应用带余除法，在每一步中被除数和除数被更小的数代替（这些更小的数实际上是每一步中的除数和余数），运算直到余数为零时终止。 这一系列运算产生了一系列的等式，而最大公因子就是最后一个非零的余数。

接下来我们看看欧几里得算法的定理证明:

证明 令r0=ar_{0} = a，r1=br_{1} = b是正整数且满足a≥ba \ge b，那么通过连续运用带余除法，我们求得

r0=r1⋅q1+r20≤r2<r1r1=r2⋅q2+r30≤r3<r2⋮rj=rj+1⋅qj+1+rj+20≤rj+2<rj+1⋮rn−3=rn−2⋅qn−2+rn−10≤rn−1<rn−2rn−2=rn−1⋅qn−1+rn0≤rn<rn−1rn−1=rn⋅qn\begin{aligned} r_{0} & = r_{1} \cdot q_{1} + r_{2} & 0 \le r_{2} < r_{1} \\ r_{1} & = r_{2} \cdot q_{2} + r_{3} & 0 \le r_{3} < r_{2} \\ & \vdots & \\ r_{j} & = r_{j+1} \cdot q_{j+1} + r_{j+2} & 0 \le r_{j+2} < r_{j+1} \\ & \vdots & \\ r_{n-3} & = r_{n-2} \cdot q_{n-2} + r_{n-1} & 0 \le r_{n-1} < r_{n-2} \\ r_{n-2} & = r_{n-1} \cdot q_{n-1} + r_{n} & 0 \le r_{n} < r_{n-1} \\ r_{n-1} & = r_{n} \cdot q_{n} \end{aligned}

可以假设最终一定会有一个余数为零，这是因为余数组成的序列a=r0≥r1>r2>⋯≥0a = r_{0} \ge r_{1} > r_{2} > \cdots \ge 0所包含的项的个数不会大于aa（因为每个余数都是整数）。 由引理1，我们得到(a,b)=(r0,r1)=(r1,r2)=(r2,r3)=⋯=(rn−2,rn−1)=(rn−1,rn)=(rn,0)=rn(a, b) = (r_{0}, r_{1}) = (r_{1}, r_{2}) = (r_{2}, r_{3}) = \cdots = (r_{n-2}, r_{n-1}) = (r_{n-1}, r_{n}) = (r_{n}, 0) = r_{n}。因此(a,b)=rn(a, b) = r_{n}， 这是最后一个非零余数。■\blacksquare

引理1 如果ee和dd是整数且e=d⋅q+re = d \cdot q + r，其中qq，rr是整数，那么(e,d)=(d,r)(e, d) = (d, r)。

证明 在定理1中，取a=ra = r，b=db = d，c=qc = q，（即(r+q⋅d,d)=(r,d)(r + q \cdot d, d) = (r, d)），那么由定理1可以直接得到引理。■\blacksquare

定理1 令aa，bb，cc是整数，那么(a+c⋅b,b)=(a,b)(a + c \cdot b, b) = (a, b)。

证明 令aa，bb，cc是整数。我们将证明aa，bb的公因子与a+c⋅ba + c \cdot b，bb的公因子相同，即证明(a+c⋅b,b)=(a,b)(a + c \cdot b, b) = (a, b)。 令ee是aa，bb的公因子。由定理2可知e∣(a+c⋅b)e \mid (a + c \cdot b)，所以ee是a+c⋅ba + c \cdot b和bb的公因子。 如果ff是a+c⋅ba + c \cdot b和bb的公因子，那么由定理2可知ff整除(a+c⋅b)−c⋅b=a(a + c \cdot b) - c \cdot b = a，所以ff是aa，bb的公因子。 因此(a+c⋅b,b)=(a,b)(a + c \cdot b, b) = (a, b)。■\blacksquare

定理2 如果aa，bb，mm和nn为整数，且c∣ac \mid a，c∣bc \mid b，则c∣(m⋅a+n⋅b)c \mid (m \cdot a + n \cdot b)。

证明 因为c∣ac \mid a且c∣bc \mid b，故存在整数ee和ff，使得a=c⋅ea = c \cdot e，b=c⋅fb = c \cdot f。 因此m⋅a+n⋅b=m⋅c⋅e+n⋅c⋅f=c(m⋅e+n⋅f)m \cdot a + n \cdot b = m \cdot c \cdot e + n \cdot c \cdot f = c (m \cdot e + n \cdot f)。从而，c∣(m⋅a+n⋅b)c \mid (m \cdot a + n \cdot b)。■\blacksquare

我们举下面的例子来说明欧几里得算法的具体步骤。

例子1 用欧几里得算法求(252,198)(252, 198)的步骤如下：

252=198×1+54198=54×3+3654=36×1+1836=18×2\begin{aligned} 252 & = 198 \times 1 + 54 \\ 198 & = 54 \times 3 +36 \\ 54 & = 36 \times 1 + 18 \\ 36 & = 18 \times 2 \end{aligned}

我们将这些步骤总结在下表中：

jjrjr_{j}rj+1r_{j+1}qj+1q_{j+1}rj+2r_{j+2}
0252198154
119854336
25436118
3361820

最后一个非零除数（在最后一列倒数第二行的那个数）就是252和198的最大公因子。因此(252,198)=18(252, 198) = 18。◀\blacktriangleleft

最后，我们给出欧几里得算法的python语言实现：

  • 递归版本
def Euclid(a:int, b:int):
    assert a >= b >= 0
    if b == 0:
        return a
    return Euclid(b, a%b)

def gcd(a:int, b:int):
    assert a >= 0 and b >= 0
    if a < b:
        a, b = b, a # swap(a, b)
    return Euclid(a, b)

def print_gcd(a, b):
    print("gcd({}, {}) = {}".format(a, b, gcd(a, b)))

if __name__ == "__main__":
    print_gcd(252, 198)
  • 迭代版本
def Euclid(a:int, b:int):
    assert a >= b >= 0
    r = a % b
    while r != 0:
        a = b
        b = r
        r = a % b
    return b

def gcd(a:int, b:int):
    assert a >= 0 and b >= 0
    if a < b:
        a, b = b, a # swap(a, b)
    return Euclid(a, b)

def print_gcd(a, b):
    print("gcd({}, {}) = {}".format(a, b, gcd(a, b)))

if __name__ == "__main__":
    print_gcd(252, 198)

另外，python标准库的math模块内置了gcd的实现，可以作为基准版本：

import math

def print_gcd(a, b):
    print("gcd({}, {}) = {}".format(a, b, math.gcd(a, b)))

if __name__ == "__main__":
    print_gcd(252, 198)

参考文献：

  • 初等数论及其应用（原书第6版）: ISBN 978-7-111-48697-8
  • 离散数学及其应用（原书第8版）: ISBN 978-7-111-63687-8
  • 算法概论: ISBN 978-7-302-17939-9
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