1.计算机是什么？"如何把程序写好“这个问题是可计算的吗?
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芯片：计算能源
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摩尔定律：计算能力的发展
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可计算理论：图灵机
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当然，在科学家们尝试发明计算机和芯片之前，他们必须回答一个问题，那就是计算或者程序可以用来 做什么？比如：计算可不可以用来做饭？换一个更专业的说法，做饭可不可以被计算？
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公理化体系和不完备性定理
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最早在 19 世纪初，德国著名数学家希尔伯特提出：这个世界可以建立一套完善的公理体系，由少数几 个公理出发，推导出所有的定理和推论。这样就可以逐渐通过这种方法将世界上的万事万物都统一到一 个体系中。 当然，这只是一个非常美好的设想，如果万事万物都可以用形式化（简单理解就是程序化规范化）的手 段统一到一套体系中，也就意味着计算能力将被无限扩展，只要给定足够的时间和空间，计算机就可以 完成任何工作。 但在不久后，美籍数学家哥德尔就提出了哥德尔不完备性定理，内容是：即便在完善的公理体系中仍然 可以找到不能被证明也不能被证伪的命题。 这让我联想到，一说谎，鼻子就会变长的匹诺曹。如果他说 “我说谎了”，那么他的鼻子应该变长还是变 短呢？对于人类而言，这个问题可以理解，但是对于计算机来说这个问题是不可以被计算的。 正是因为世界上存在着大量的这种 “公说公有理，婆说婆有理” 的问题，才让大家认识到计算不能解决所 有问题，所以：计算机能力也是有边界的。哥德尔的不完备性定理，让大家看到了世界上还有大量不可 计算的问题。
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图灵机和可计算理论
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于是人们意识到了需要一个理论，专门回答这样的问题：哪些问题可以被计算，哪些不可以被计算，这 就是可计算性理论，该理论是计算机科学的理论基础之一。 1936 年，被誉为人工智能之父的阿兰 · 图灵提出了图灵机，它是一种不断执行指令的抽象计算机。之 所以说抽象，是因为图灵并没有真的造出这台机器，而是把它当成理论去和大家探讨可计算问题。 图灵发现如果一个问题是可计算的，那么它的解决方案就必须可以被具化成一条条的指令，也就是可以 使用图灵机处理。因此，不能使用图灵机处理的问题，都是不可计算的问题。
比如一个马达的控制程序是可计算的，因为控制过程是可以被抽象成一条条指令的（即可以写程序实 现）。比如程序可以先读入传感器的数据，然后根据数据计算出下面要进行加速还是减速。
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不可计算问题
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但当图灵机遇到 “素数是不是有无穷多个？” 这样的问题时，事情就变得复杂了。虽然，我们可以通过有 限的步骤计算出下一个素数。比如可以每次尝试一个更大的数字，然后通过一系列计算过程判断该数字 是不是素数，直到找到一个更大的素数。古希腊数学家埃拉托斯特尼就发明了筛选出给定范围内所有素 数的方法
我们利用埃拉托斯特尼筛法找到的素数越来越多。但是，我们还是不能回答 “素数是不是 有无穷多个” 这样的问题。因为要回答这样的问题，我们会不停地寻找下一个素数。如果素数是无穷 的，那么我们的计算就是无穷无尽的，所以这样的问题不可计算。
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停机问题
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我们也无法实现用一个通用程序去判断另一个程序是否会停止。比如你用运行这段程序来检查一个程序 是否会停止时，你会发现不能因为这个程序执行了 1 天，就判定它不会停止，也不能因为这个程序执行 了 10 年，从而得出它不会停止的结论。这个问题放到图灵机领域，叫作停机问题，我们无法给出一个 判断图灵机是否会停机的通用方法，因此停机问题是一个经典的不可计算问题。
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我们可以把世界上想解决的事情都称作问题，解决问题往往需要消耗芯片的计算能力，这通常称作时间 开销，另外解决问题还需要消耗内存，称作空间开销。
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2.计算能力的边界在哪里？
问题的分类
世界上有一类问题，无论我们消耗多少时间和空间也无法解决，这类问题就包括 “停机问题”，称作不可计算问题，我们无法用计算机精确地解决这类问题。世界上不可计算问题多，还是可计算问题多，也是一个不可计算问题，但直觉告诉我们一定是不可计算问题更多。 另外在可计算的问题中，有困难问题，也有简单问题，我们通常用复杂度来衡量，比如：“求数组第 10 个元素”，计算这种问题，时间开销、空间开销都不会随着问题规模增长，我们记为O(1)；
求数组中的最大值”，计算这种问题，时间开销会随着数组规模线性增大，记作 O(N)，N 是问题的规模；还有像 “求一个 n*n 矩阵的和”，如果 n 是规模，那么时间开销会随着问题规模的平方增长，我们称作 O(N2)；当然也有更加复杂的数学模型，比如说 O(N3)、O(N4)、O(N100) 等。
3.P 问题 vs NP 问题
按照摩尔定律所说，人类的计算能力每 18～24 个月翻一倍，我们的计算能力在呈指数形式上升。因此，在所有可以计算的问题中，像 O(N1000) 的问题，虽然现在的计算能力不够，但是相信在遥远的未来，我们会拥有能力解决。这种我们有能力解决的问题，统称为多项式时间（ Polynomial time）问题。我们今天能解决的问题，都是多项式时间的问题，下面记为 P 类型的问题
另外，还有一类问题复杂度本身也是指数形式的问题，比如 O(2N) 的问题。这类型的问题随着规模 N上升，时间开销的增长速度和人类计算能力增长速度持平甚至更快。因此虽然这类问题可以计算，但是当 N 较大时，因为计算能力不足，最终结果依然无法被解决。 由此可见，不是所有可以计算的问题都可以被解决，问题如果不能在多项式时间内找到答案，我们记为NP 问题。有一部分 NP 问题可以被转化为 P 问题，比如斐波那契数列求第 N 项，可以用缓存、动态规划等方式转化为 O(N) 的问题。但还有更多的 NP 问题，比如一个集合，找出和为零的子集，就没能找到一个合适的转换方法。其实说这么多，就是想告诉大家：如今还有很多问题无法解决，它的数量远远大于我们可以解决的问题，科学家、工程师们也只能望洋兴叹了。
4.人工智能
此外，包括停机问题、包括 NP 问题在内的很多问题，虽然不能解决，但可以努力让计算机的解决方案超过人类的水平，这就是人工智能。 比如下围棋，围棋盘是 19*19 的，共有 361！种情况，如果遍历 361！种情况，并进行打分，共有 10的 170 次方种可能，因此，我们的计算能力是远远不足的。但是如果使用人工智能方法对可能出现的部分情况进行概率判断，在不追求绝对精确的情况下，人工智能就可以超过人类选手。 AlphaGo 战胜李世石就是利用了基于概率的不完全解法，这种解法已经可以超过部分人类职业选手了，也就是说计算机的解法已经超过了人类。当然，人类的强项在于理解和分析，人有两种思维，归纳和假设，这两种思维都是计算机无法计算的。机器用概率理解围棋，局部来说机器下得更好，但是人可以制造机器，因此，人的感悟更有意义，谈不上孰优孰劣。 针对这种解决问题的方法，20 世纪中人工智能之父图灵，提出图灵测试，就是在一次人机对话中，随机抽样一部分的实验者和机器对话，如果这部分实验者有较大的百分比判断对面是人而不是机器，那这台机器就通过了图灵测试。在围棋领域，可以说，AI 通过了图灵测试。但围棋的 AI 不能下象棋，这也是 AI 的一个劣势。所以广义的 AI 还没有出现，现在出现的是在某个专业领域的 AI。
下面我们回到最初的问题：“可不可以计算一个人程序写得好不好？” 这个问题可以这样来思考，如果把问题降级，变成：“可不可以计算一个人写的程序会不会停机？” 这个问题就如同停机问题，无法计算，因此这是一个不可计算的问题。但是我们通过设立规则，比如检查缩进、检查函数的复用情况、检查类的命名情况，给写程序的人更好的建议。另外，我们也可以通过AI 技术，让机器在 “程序写得好不好” 这个问题的判定能力上，达到人类的水平，通过图灵测试。 综上，从绝对的对错角度去看，这是一个不可计算问题，因为它没有办法被完全解决；但是从图灵测试层面来看，虽然目前无法解决这个问题，但是我们有理由相信，在未来，计算机对这个问题的解决方案，是可以超过人类的
5.思考
可不可以构造一段程序证明停机问题无解？如果可以，请用自己熟悉的语言写出这段程序。
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