【高等数学基础进阶】函数、极限、连续-函数

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一、函数概念及常见函数

1. 函数概念

定义1：如果对于每一个数$x\in D$，变量$y$按照一定的法则总有一个确定的$y$和它对应，则称$x$是$y$的函数，记为$y=f(x)$。常称$x$为自变量，$y$为因变量，$D$为定义域

定义域$D_{f}=D$

值域$R_{f}=f(D)=\{y|y=f(x),x\in D\}$

 

注：函数概念有两个基本要素：定义域，对应规则

 

例1：函数$y=\text{sgn} x=\begin{cases}-1,x<0 \\0,x=0\\1,x>0\end{cases}$，称为符号函数

 

 

例2：设$x$为任一实数，不超过$x$的最大整数称为$x$的整数部分，记为$[x]$。函数$y=[x]$称为取整函数

 

$[3.2]=3$，即$3+0.2=3.2,0.2\in[0,1)$

$-[3.2]=-4$，即$-4+0.8=-3.2,0.8\in[0,1)$**

 

 

2. 复合函数

定义2：设$y=f(u)$的定义域为$D_{f}$，$u=g(x)$的定义域为$D_{g}$，值域为$R_{g}$，若$D_{f}\cap R_{g}\ne \varnothing$（即外层函数的定义域与内层函数的值域交集不为空），则称函数$y=f[g(x)]$为函数$y=f(u)$与$u=g(x)$的复合函数。它的定义域为$\{x|x\in D_{g},g(x)\in D_{f}\}$

 

注：不是任何两个函数都可以复合，如$y=f(u)=\ln u,u=g(x)=\sin x-1$就不能复合，这是由于$D_{f}=(0,+\infty),R_{g}=[-2,0],D_{f}\cap R_{g}=\varnothing$

 

3. 反函数

定义3：设函数$y=f(x)$的定义域为$D$，值域为$R_{y}$。若对任意$y\in R_{y}$，有唯一确定的$x\in D$，使得$y=f(x)$，则记为$x=f^{-1}(y)$称其为函数$y=f(x)$的反函数（即$f$为单射）

 

反函数$\Leftrightarrow \forall x_{1}\ne x_{2}\in D$，有$f(x_{1})\ne f(x_{2})\Leftrightarrow f$是一一映射

 

注：

1. 不是每个函数都有反函数，如$y=x^{3}$有反函数，而$y=x^{2}$没有反函数

2. 单调函数一定有反函数，但反之则不然，如 $f(x)=\begin{cases}x,0\leq x<1\\3-x,1\leq x\leq2\end{cases}$有反函数

3. 有时也将$y=f(x)$的反函数$x=f^{-1}(y)$写成$y=f^{-1}(x)$

         在同一直角坐标系中，$y=f(x)$和$x=f^{-1}(y)$的图形重合

         作为函数，$x=f^{-1}(y)$和$y=f^{-1}(x)$是同一函数

         $y=f(x)$和$y=f^{-1}(x)$的图形关于直线$y=x$对称**

        

 

4. $f^{-1}[f(x)]=x,f[f^{-1}(x)]$

         把$f$看做映射关系，即把$D$映射到$R_{f}$，再映射回$D$**

 

例3：求函数$y=\text{sh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$的反函数

 

步骤：

1. 反解

2. $x$与$y$对调

 

由$y=\text{sh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$知

$e^{2x}-2ye^x-1=0$

解得$e^{x}=y\pm\sqrt{1+y^{2}}$

又$\because e^{x}>0$，可得

$e^{x}=y+\sqrt{1+y^{2}}$

$x=\ln(y+\sqrt{1+y^{2}})$

则函数$y=\text{sh}x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$的反函数为$y=\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})$

 

4. 初等函数

定义4：将幂函数，指数，对数，三角，反三角统称为基本初等函数。了解它们的定义域，性质，图形

 

幂函数：$y=x^{\mu}$（$\mu$为实数）

指数函数：$y=a^{x}(a>0,a\ne1)$

对数函数：$y=\log_{a}x(a>0,a\ne1)$

三角函数：$y=\sin x,y=\cos x,y=\tan x,y=\textup{cot } x$

反三角函数：$y=\arcsin x,y=\arccos x,y=\arctan x$

 

定义5：由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和符合所能得到且能用一个解析式表示的函数，称为初等函数

 

二、函数的性质

1. 单调性

定义1：如果对于区间$I$上的任意两点$x_{1}<x_{2}$恒有$f(x_{1})<f(x_{2})\text{，单调增加}$ $f(x_{1}>f(x_{1})\text{，单调减少}$

 

2. 奇偶性

定义2：设$y=f(x)$的定义域$D$关于原点对称，$\forall x\in D$ $f(-x)=f(x)\text{，偶函数}$ $f(-x)=-f(x)\text{，奇函数}$

 

注：

1. **奇函数：$\sin x,\tan x,\arcsin x,\arctan x,\ln\frac{1-x}{1+x},\ln(x+\sqrt{1+x^{2}}),\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1},f(x)-f(-x)$

        

 

        

 

        

 

         偶函数$x^{2},|x|,\cos x,f(x)+f(-x)$**

2. 奇函数的图形关于原点对称，且若$f(x)$在$x=0$处有定义，则$f(0)=0$；偶函数的图形关于$y$偶对称

3. **奇+奇=奇；偶+偶=偶

         奇$\times$奇=偶；偶$\times$偶=偶；奇$\times$偶=奇**

 

例4：证明$f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})$是奇函数

由于

则$f(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^{2}})$是奇函数

双曲正弦的反函数是奇函数

 

3. 周期性

定义3：若存在实数$T>0$，对于任意$x$，恒有$f(x+T)=f(x)$，则称$y=f(x)$为周期函数。使得上式成立的最小整数$T$称为最小正周期，简称为函数$f(x)$的周期

 

注：

1. $\sin x,\cos x,\sin^{2k-1}x(k=1,2,\cdots)$周期为$2\pi$；$\sin 2x,|\sin x|,\sin ^{2k}x(k=1,2,\cdots)$周期为$\pi$

2. 若$f(x)$以$T$为周期，则$f(ax+b)$以$\frac{T}{|a|}$为周期

 

4. 有界性

定义4：若存在$M>0$，使得对任意的$x\in X$，恒有$|f(x)|\leq M$，则称$f(x)$在$X$上的有界函数

如果对任意的$M>0$，至少存在一个$x_{0}\in X$，使得$|f(x_{0})|>M$，则$f(x)$为$X$上的无界函数

 

注：

1. 一般地，说$f(x)$函数为有界函数，是指$f(x)$在定义域上有界

2. 常见的有界函数$|\sin x|\leq1;|\cos x|\leq1;|\arcsin x|\leq \frac{\pi}{2};|\arctan x|< \frac{\pi}{2};|\arccos x|\leq \pi$

 

例5：证明函数$f(x)=x\sin x$是无界函数

由于

$f(2n\pi+\frac{\pi}{2})=2n \pi+\frac{\pi}{2}$

所以，对于任意的$M>0$，只要正整数$n$充分大，总有

$|f(2n\pi+\frac{\pi}{2})|=2n \pi+ \frac{\pi}{2}>M$

故函数$f(x)=x\sin x$是无界函数

 

练习

 

例6：设$f(x)=\begin{cases}1,|x|\leq1\\0,|x|>1\end{cases}$，则$f[f(x)]$等于（）

 

做法：内层函数的函数值，落在外层函数定义域的哪个范围内就代入哪个函数

 

$f[f(x)]=\begin{cases}1,|x|\leq1\\0,|x|>1\end{cases}$

即$f[f(x)]=1$

 

例7：已知$f(x)=\sin x,f[\phi(x)]=1-x^{2}$，则$\phi(x)=$（）的定义域为（）

 

由$f(x)=\sin x,f[\phi(x)]=1-x^{2}$，知\

$\sin \phi(x)=1-x^{2}$

$\phi(x)=\arcsin(1-x^{2})$

这里

$|1-x^{2}|\leq1$

由此解得

$-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$

 

此处有$f(x)=\sin x$，可以这样看$f(*)=\sin *$，所以$f[\phi(x)]=\sin \phi(x)$，就是把$\phi(x)$看做$*$