1. 线性表出、秩

前置知识：

• 1.初等行变换 不改变秩(也就是极大无关组的向量数)

• 2.矩阵的 列向量的极大无关组的向量数(列秩) 和 行秩 是相等的。 ---->即：矩阵的秩=列秩=行秩

• 3.若是 由n个向量构成的向量组 $v_1,v_2,v_3,...,v_n$, 具有以下情况：

  • 秩$rank(v_1,v_2,v_3,...,v_n)=n$，那就是线性无关组（组内所有向量线性无关）
  • 秩$rank(v_1,v_2,v_3,...,v_n)<n$，那就是线性相关组（至少有一个向量$v_i$可以被同组的其他向量线性表示）

• 4.线性表示： 存在这样的一组常数$k_1,k_2,...k_n$能使得 $v_i = k_1*v_1+ k_2*v_2 + k_{i-1}*v_{i-1}+ k_{i+1}*v_{i+1}+ ... + k_n*v_n$

• 5.线性相关： 对于向量组 $v_1,v_2,v_3,...,v_n$ , 存在向量$v_i$可以被同组的其他向量线性表示
  亦即：对于方程 $k_1*v_1+ k_2*v_2 + ... + k_n*v_n = \vec{0}$, 求解各个k,有解且 k 必须至少有一个不为0。

  • 其实就是至少有一个 $k_i$不能为0。 $k_i$非零，那就是$v_i$可以被其他同组向量线性表示。

• 6.线性无关： 对于向量组 $v_1,v_2,v_3,...,v_n$ , 所有向量$v_i$无法被同组的其他向量线性表示。也就是针对$k_1*v_1+ k_2*v_2 + k_3*v_3+ ... + k_n*v_n = \vec{0}$这个方程 求解合适的 $k_1,k_2,...k_n$ 只能求出各个常数k全是0的解。不存在其他的解。(必须至少有一个不为0)

开始讲题

1. 这题目，先把 $[\alpha_1,\alpha_2,\beta]$ 拼起来，组成这玩意：

2. 疯狂做初等行变换：

3. 那特么，就可以直接看出来，这个向量组的秩rank， 可能为3，可能为2。

• 回顾知识点
  • 秩$rank(v_1,v_2,v_3)=3$，那就是线性无关组
  • 秩$rank(v_1,v_2,v_3)<3$，那就是线性相关组

4. 肉眼可见的： 要是 t=5，秩rank就是2。 要是 t≠5，秩rank就是3。
   • rank=3 $\implies$ $rank(v_1,v_2,v_3,...,v_n)=n$ $\leftrightarrow$ 线性无关组 $\implies$ 常数$k_1,k_2,...k_n$只有全0的可能。 $\implies$ 组内的任何一个向量都不能被组内的其他向量线性表示。
   • rank<3 $\implies$ $rank(v_1,v_2,v_3,...,v_n)<n$ $\leftrightarrow$ 组内向量 线性相关 $\implies$ 常数$k_1,k_2,...k_n$有全0以外的解。 $\implies$ 组内至少存在一个向量可以被组内的其他向量线性表示。
5. 那么， t 要是不为 5，那就完了，没了。没法线性表示。整个向量组，就是极大无关组，rank = n，线性无关。
6. t 要是 5，rank < n，线性相关，而且肉眼可见的， $\beta = 2\alpha_1+\alpha_2$。----根据化简以后的行阶梯矩阵 可以直接看出。
7. 你要是 不相信，可以自己计算 k1,k2,k3。算出来。

因为要试着表示 v3也就是 $\beta$ ，那么我就设k3为1，求解出来 k1 = -2, k2 = -1。 那就显而易见了， $-2\alpha_1-1\alpha_2+1\beta = \vec{0}$
于是 $\beta = 2\alpha_1+\alpha_2$