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图形学的数学基础（十三）：mvp变换(中)

本章我们将实现mvp变换中的投影变换（$projection Transform$），投影变换有两种方式，分别为正交投影（$Orthographic projection$）和透视投影（$perspective projection$）.两种投影方式最终都将视景体内的物体投影到近平面上（将视图从相机空间映射到$[-１,１]^３$），也是3D空间映射到2D屏幕空间最为关键的一步。的标准立方体中，如下图所示：

正交投影（$Orthographic projection$）

正交投影会保持几何图元相对位置关系不变，平行的线永远平行。不满足透视关系。又叫做平行投影。

正交投影的“视景体”是一个长方形，由 top bottom left right near far6个参数定义。如下图所示：

如何将该长方体映射到$[-1,1]^3$呢?和$\textbf{M}_{view}$类似,我们先将立方体中心移动到原地,然后根据每个方向的长度,缩放到[-1,1]之间.即$\textbf{M}_{scale}\textbf{M}_{translate}$.需要一次平移变换 + 一次缩放变换.

$\textbf{M}_{translate}$平移矩阵

根据正交投影视景体的6个参数,我们可以计算出它的中心位置.即:

$\textbf{center} = \begin{bmatrix} \dfrac{r+l}{2}\\ \dfrac{t+b}{2}\\ \dfrac{n+f}{2}\\ \end{bmatrix}$

$\textbf{M}_{translate} = \begin{bmatrix} 1&0&0&-\dfrac{r+l}{2}\\ 0&1&0&-\dfrac{t+b}{2}\\ 0&0&1&-\dfrac{n+f}{2}\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$

$\textbf{M}_{scale}$缩放矩阵

同样的,根据视景体6个参数,可以计算出立方体的长宽高(假设z方向的边为长,y方向的边为高)分别为: $n-f, r-l, t-b$.

根据缩放矩阵的定义可知: $\textbf{M}_{scale} = \begin{bmatrix} \dfrac{2}{r-l}&0&0&0\\ 0&\dfrac{2}{t-b}&0&0\\ 0&0&\dfrac{2}{n-f}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$

正交投影矩阵

$\textbf{M}_{orthographic} = \textbf{M}_{scale}\textbf{M}_{translate} = \begin{bmatrix} \dfrac{2}{r-l}&0&0&0\\ 0&\dfrac{2}{t-b}&0&0\\ 0&0&\dfrac{2}{n-f}&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&-\dfrac{r+l}{2}\\ 0&1&0&-\dfrac{t+b}{2}\\ 0&0&1&-\dfrac{n+f}{2}\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}$

参考

《3D数学基础》图形和游戏开发(第二版)

GAMES101 -现代计算机图形学入门-闫令琪

fundamentals-of-computer-graphics