图形学的数学基础（十二）：mvp变换（上）

kenshin
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图形学的数学基础（十二）：mvp变换

图形系统的一个重要任务是将三维空间中的模型映射到二维平面上（以像素为单位），这是一个复杂的过程，取决于许多因素，包括但不限于相机的位置，方向，投影的类型（正交/透视），fov，和viewport宽高，对于所有复杂的矩阵变换，最好的做法是将其分解为几个更简单的矩阵乘积。大多数图形系统通过使用四个转换序列来实现m,以openGL为例：

1.png

  1. modelMatrix：将视图从模型空间转换为世界空间。直白的说就是将模型摆放到世界坐标空间的何处。这一步确立了世界空间中各模型的相对布局，摆放位置。

  2. viewMatrix：将视图从世界空间转换到相机空间。简单来讲就是：我们从何处，在什么角度，朝什么方向观察我们的世界。

  3. Projection：将视图从相机空间映射到[−１,１]３[-１,１]^３，的单位立方体中，为了下一步viewport变换做准备

  4. viewport: 将视图从单位立方体映射到所需的屏幕空间（screenSpace），取决于输出图像的大小和位置。

2.png

view Transform

现实生活中，如果相机和所有物体一起移动（相对位置关系不变），则拍出来的照片也都是一样的。根据这个原理我们得出：将相机移动到原点，朝向-z方向，构造出一个变换矩阵Mview\textbf{M}_{view}，其他物体随着相机一起移动（应用Mview\textbf{M}_{view}）。即可完成viewTransform。如何构造Mview\textbf{M}_{view}？将视图从世界空间转换到相机空间？首先需要定义相机参数：

  • 位置（eye Position）：e\mathbf{e}
  • 观测方向（gaze Direction）：g⃗\vec{g}
  • 向上方向（up Direction）：t⃗\vec{t}

根据这些信息，我们可以构造一个以e\mathbf{e}为原点的uvw标准正交基。

  • 矢量正交化
  • 将e\mathbf{e}移动到原点
  • 旋转g⃗\vec{g} 到-z方向
  • 旋转t⃗\vec{t}到y方向
  • 旋转g⃗×t⃗\vec{g}\times \vec{t}到x方向。

因此我们可以将Mview\textbf{M}_{view}拆解成平移和旋转两个部分.首先需要对相机参数的矢量进行正交化。

Mview=RviewTview\textbf{M}_{view} = \textbf{R}_{view}\textbf{T}_{view}

3.png

正交化

根据前边章节讲过的矢量叉乘正交化的方法，可以计算出：

w^=−g⃗∣∣g∣∣\hat{w} = -\dfrac{\vec{g}}{||g||}

u^=t×w∣∣t×w∣∣\hat{u} = \dfrac{\mathbf{t}\times \mathbf{w}}{||\mathbf{t}\times \mathbf{w}||}

v^=w×u\hat{v} = \mathbf{w}\times \mathbf{u}

平移矩阵

Tview\textbf{T}_{view} = [100−xe010−ye001−ze0001]\begin{bmatrix} 1&0&0&-x_{e}\\ 0&1&0&-y_{e}\\ 0&0&1&-z_{e}\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}

旋转矩阵

旋转矩阵不好写，但是我们可以反过来思考这个问题，将x（1，0，0），y（0，1，0），z（0，0，1）分别旋转到u^\hat{u},v^\hat{v}, −w^-\hat{w}是很好写的，由于这两个矩阵互为逆矩阵，根据旋转矩阵的性质，旋转矩阵都是正交的，而正交矩阵的逆矩阵等于其转置。所以我们可以先求Rview\textbf{R}_{view}的逆矩阵，然后将其转置，即可得到Rview\textbf{R}_{view}：

Rview−1\textbf{R}_{view}^{-1} = [xuxvxw0yuyvyw0zuzvzw00001]\begin{bmatrix} x_u&x_v&x_w&0\\ y_u&y_v&y_w&0\\ z_u&z_v&z_w&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}

Rview\textbf{R}_{view} = [xuyuzu0xvyvzv0xwywzw00001]\begin{bmatrix} x_u&y_u&z_u&0\\ x_v&y_v&z_v&0\\ x_w&y_w&z_w&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}

合到一起

Mview=RviewTview=[xuyuzu0xvyvzv0xwywzw00001][100−xe010−ye001−ze0001]\textbf{M}_{view} = \textbf{R}_{view}\textbf{T}_{view} = \begin{bmatrix} x_u&y_u&z_u&0\\ x_v&y_v&z_v&0\\ x_w&y_w&z_w&0\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0&-x_{e}\\ 0&1&0&-y_{e}\\ 0&0&1&-z_{e}\\ 0&0&0&1\\ \end{bmatrix}

至此我们完成了Mview\textbf{M}_{view}的推导过程，实现了视图从世界空间到相机空间的转换。

参考

《3D数学基础》图形和游戏开发(第二版)

GAMES101 -现代计算机图形学入门-闫令琪

fundamentals-of-computer-graphics

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