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随机试验、样本空间与随机事件

一、随机试验的概念

可以在相同的条件下重复进行
每次试验结果可能不止一个，并且能事先明确试验所有可能结果
进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现

我们将具有上述三个特点的试验称为随机试验

二、样本空间的概念

对于随机事件，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是一已知的，我们将试验所有结果组成的集合称为样本空间，样本空间的元素，即每个试验结果称为样本点

三、随机事件的概念

一般地，我们称试验样本空间的子集为试验的随机事件，简称事件，一个样本点组成的单点集，称为基本事件，如果样本空间中包含的样本点 $S$ 为它自身的子集，那么在每次试验中 $S$ 必定发生，称 $S$ 为必然事件，空集 $\varnothing$ 不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称 $\varnothing$ 为不可能事件

四、事件之间的关系

1. 事件的包含

如果事件 $A$ 的发生必然导致事件 $B$ 的发生，则称事件 $B$ 包含事件 $A$ ，或称事件 $A$ 包含于事件 $B$ ，就走 $B \supset A$ 或者 $A \subset B$

2. 事件的相等

如果 $A\supset B$ 和 $B\supset A$ 同时成立，则称事件 $A$ 和事件 $B$ 相等，记作 $A=B$

3. 事件的交

如果事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生，则称这样的一个事件为事件 $A$ 与事件 $B$ 的交或积，记作 $A \cap B$ 或者 $AB$

4. 互斥事件

如果事件 $A$ 与事件 $B$ 的关系为 $AB=\varnothing$ ，即 $A$ 与 $B$ 不能同时发生，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥或者互不相容

5. 事件的并

如果事件 $A$ 与事件 $B$ 至少有一个发生，则称这样的事件为事件 $A$ 与事件 $B$ 的并或者和，记作 $A \cup B$

6. 对立事件

如果事件 $A$ 与事件 $B$ 有且仅有一个发生，即同时成立 $A \cup B=\Omega$ ，且 $A \cap B=\varnothing$ ，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 为对立事件或互逆事件，记作 $B=\bar{A}$ 或者 $A=\bar{B}$

7. 事件的差

事件 $A$ 发生而事件 $B$ 不发生称为事件 $A$ 与事件 $B$ 的差，记作 $A-B$

五、事件的运算规律

交换律： $A \cup B=B \cup A,A \cap B=B \cap A$
结合律： $A \cup (B \cap C)=(A\cup B)\cup C,A \cap(B \cap C)=(A \cap B)\cap C$
分配律： $A \cup(B \cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C),A \cap(B \cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$
对偶律（德摩根律）： $\overline{A \cup B}= \overline{A}\cap \overline{B}, \overline{A \cap B}= \overline{A}\cup \overline{B}$ （显示问题这里上面有横线）

长杠变短杠，开口换方向

事件的概率

一、概率的定义

设 $E$ 是随机试验， $S$ 是它的样本空间，对于 $E$ 的每一事件 $A$ 赋予一个实数，记为 $P(A)$ ，称为事件 $A$ 的概率，事件的概率满足下列条件：

非负性：对于每一事件 $A$ ，都有 $P(A)\geq 0$
规范性：对于必然事件 $S$ ，有 $P(S)=1$
可列可加性：设 $A_1,A_2,\cdots$ 是两两互不相容的事件，即对于 $A_iA_j=\varnothing,i\ne j,\space i,j=1,2,\cdots$ ，有 $P(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots)=P(A_1)+P(A_2)+\cdots$

二、概率的性质

$P(\varnothing)=0$
若 $A_1,A_2.\cdots,A_n$ 是两两互不相容的事件，则有 $P(A_{1}\cup A_{2}\cup\cdots\cup A_{n})=P(A_1)+P(A_2)+\cdots+P(A_n)$
设 $A,B$ 是两个事件，若 $A\subset B$ ，则有 $P(B)\geq P(A)$
对于任一事件 $A$ ， $P(A)\leq1$
对于任一事件 $A$ ，有 $P(\bar{A})=1-P(A)$
对于任意两事件 $A,B$ ， $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

推广：对于任意三事件 $A,B,C$ ，有 $P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)$

古典概型

一、等可能概型

1. 定义

若试验中的样本空间只包含有限个元素，且试验中每个基本事件发生的可能性相同，我们把具有以上两个特点的试验称为等可能概型，其在为研究概率论初期的主要研究对象，因此也称其为古典概型

2. 计算公式

设试验样本空间为 $S=\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$ ，由于在试验中每个基本事件发生的可能性相同，即有 $P(\{e_1\})=P(\{e_2\})=\cdots=P(\{e_n\})$
因为两两事件为互不相容的，所以 $P(S)=P(\{e_1\})+P(\{e_2\})+\cdots+P(\{e_n\})=1$ ，即 $P(\{e_{i}\})=\frac{1}{n}(i=1,2,\cdots,n)$
若事件 $A$ 包含 $k$ 个基本事件，即 $P(A)=\frac{k}{n}=\frac{A \text{包含的基本事件数}}{S\text{中基本事件的总数}}$

例1：将枚硬币抛掷三次，设事件 $A$ 为“至少有一次出现正面”，求 $P(A)$

$P(A)=1-P(\bar{A})=1-(\frac{1}{2})^3=\frac{7}{8}$

例2：将 $n$ 只球随机的放入 $N(N>n)$ 个盒子中去，试求每个盒子至多有一个球的概率

$P=\frac{A^{n}_{N}}{N^{n}}$

例3：袋中有 $a$ 只白球， $b$ 只红球， $k$ 个人依次在袋中取一只球（ $k=a+b$ ），取后不放回进行抽球，求第 $i(i=1,2,\cdots,k)$ 人取到白球（记为事件 $B$ ）的概率

$P(B)=\frac{a\cdot (a+b-1)!}{(a+b)!}=\frac{a}{a+b}$

条件概率

## 一、定义

设 $A,B$ 是两个事件，且 $P(A)>0$ ，称 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$ 为在事件 $A$ 发生的条件下事件 $B$ 发生的概率

二、性质

非负性：对于每一事件 $B$ ，有 $P(B|A)\geq0$
规范性：对于必然事件 $S$ ，有 $P(S|A)=1$
可列可加性：设 $B_1,B_2,\cdots$ 是两两互不相容的事件，则有 $P(\bigcup^\infty_{i=1}B_{i}|A)=\sum\limits^{\infty}_{i=1}P(B_i|A)$

三、乘法

设 $P(A)>0$ ，则有 $P(AB)=P(B|A)P(A)$ ，将上式称为乘法公式

推广

设 $A,B,C$ 为事件，且 $P(AB)>0$ ，则 $P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)$
设 $A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 为 $n$ 个时间， $n\geq2$ ，且 $P(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n-1})>0$ ，则有 $P(A_{1}A_{2}\cdots A_{n})=P(A_{n}|A_{1}A_{2}\cdots A_{n-1})P(A_{n-1}|A_{1}A_{2}\cdots A_{n-2})\cdots P(A_{2}|A_{1})P(A_{1})$

设1：设袋中有 $r$ 只红球， $t$ 只白球，每次从袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入 $a$ 只与所取的那只球同色的球，若在袋中连续取球四次，试求第一。第二次取得红球且第三、四次取到白球的概率

设 $A_{i}$ 表示第 $i$ 次取得红球， $\bar A_{i}$ 为第 $i$ 次取得白球

$\begin{aligned}P(A_{1}A_{2}\bar A_{3}\bar A_{4})&=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(\bar A_{3}|A_{1}A_{2})P(\bar A_{4}|\bar A_{3}A_{2}A_{1})\\&=\frac{r}{r+t}\frac{r+a}{r+t+a}\frac{t}{r+t+2a}\frac{t+a}{r+t+3a}\end{aligned}$

四、全概率公式和贝叶斯公式

1. 全概率公式

设试验 $E$ 的样本空间为 $S$ ， $A$ 为 $E$ 的事件， $B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}$ 为 $S$ 的一个划分，且 $P(B_{i})>0(i=1,2,\cdots,n)$ ，则 $P(A)=\sum\limits^{n}_{i=1}P(B_{i})P(A|B_{i})$ ，称为全概率公式

推导：

$\begin{aligned}P(A)&=P(A\cdot\Omega)\\&=P(A\cdot\bigcup^n_{i=1}B_{i})\\&=\sum\limits^n_{i=1}P(AB_{i})\\&=\sum\limits^{n}_{i=1}P(B_{i})P(A|B_{i})\end{aligned}$

2. 贝叶斯公式

设试验 $E$ 的样本空间为 $S$ ， $A$ 为 $E$ 的事件， $B_{1},B_{2},\cdots,B_{n}$ 为 $S$ 的一个划分，且 $P(B_{i})>0(i=1,2,\cdots,n)$ ，则 $P(B_{i}|A)=\frac{P(A|B_{i})P(B_{i})}{\sum\limits^{n}_{j=1}P(A|B_{j})P(B_{j})}$ ，该式称为贝叶斯公式

推导：

该式意为，已知 $A$ 发生了，问是 $B_{i}$ 导致的概率

$\begin{aligned}P(B_{i}|A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(A|B_{i})P(B_{i})}{\sum\limits^{n}_{j=1}P(A|B_{j})P(B_{j})}\end{aligned}$

例2：有两个盒子，第一盒中装有 $2$ 个红球， $1$ 个白球，第二盒中装有一半红球，一半白球，现从两盒中个任取一球放在一起，再从中取一球，问：

这个求是红球的概率

全概率公式用于求无条件一个事件的概率

$\begin{aligned}P(A)&=P(A\cdot \Omega)\\&=P(B_{1})P(A|B_{1})+P(B_{2})P(A|B_{2})\\&=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}+ \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{7}{12}\end{aligned}$

若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率

贝叶斯公式用于，已知 $A$ 发生了，问是 $B_{i}$ 导致的概率。

在本题中即为，取出了白球，问是第一盒的概率

$P(B_{1}|A)=\frac{P(AB_{1})}{P(A)}=\frac{P(B_{1})P(B_{1}|A)}{\frac{7}{12}}=\frac{4}{7}$

独立性

一、独立性的定义

设 $A,B$ 是两事件，如果满足等式 $P(AB)=P(A)P(B)$ ，则称事件 $A,B$ 相互独立，简称 $A,B$ 独立。即事件 $A$ 与 $B$ 的发生与否互不影响

二、独立性的性质

设 $A,B$ 是两事件，且 $P(A)>0$ ，若 $A,B$ 相互独立，则 $P(B|A)=P(B)=P(B|\bar A)$
若事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立，则下列个事件也互相独立

- $A$ 与 $\bar{B}$ 互相独立

- $\bar A$ 与 ${B}$ 互相独立

- $\bar A$ 与 $\bar{B}$ 互相独立

设 $A,B,C$ 是三个事件，如果同时满足等式 $P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ ，则称事件 $A,B,C$ 互相独立

例1：甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 $p$ ，其中 $p\geq \frac{1}{2}$ ，问：对甲而言，采用三局两胜制有利，还是采用五局三胜制有利（设各局胜负相互独立）

三局两胜， $P_1=p^2+C^1_2(1-p)p^2=3p^2-2p^3$

五局三胜， $P_{2}=p^{3}+p\cdot C^{1}_{3}(1-p)p^{2}+p\cdot C^{2}_{4}(1-p)^2p^2$

$P_2-P_1=3p^2(p-1)^2(2p-1)$

当 $p=\frac{1}{2}$ 时， $P_1=P_2$ ，此时甲获胜的概率为 $50\%$

当 $p>\frac{1}{2}$ 时， $P_2>P_1$ ，此时五局三胜制对甲有利

【概率论】概率论的基本概念