【线性代数基础进阶】矩阵我报名参加金石计划1期挑战——瓜分10万奖池，这是我的第1篇文章，点击查看活动详情一、概念、运

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一、概念、运算

概念

$m\times n$ 个数排成如下 $m$ 行 $n$ 列的一个表格

\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_22 & \cdots & a_2 \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{pmatrix}

称为一个 $m\times n$ 矩阵

当 $m=n$ 时，称为 $n$ 阶矩阵或 $n$ 阶方阵，简记为 $A$

如果一个矩阵的所有元素都是 $0$ ，即

\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}

称这个矩阵为零矩阵，简记 $O$

如果 $A$ 和 $B$ 都是 $m\times n$ 矩阵，称为 $A$ 和 $B$ 是同型矩阵

设 $A$ 和 $B$ 都是 $m\times n$ 矩阵，如果

a_{ij}=b_{ij}\quad(\forall i=1,2,\cdots,m;j=1,2,\cdots,n)

称矩阵 $A$ 和 $B$ 相等，记作 $A=B$

一个矩阵主对角元素的和叫际

运算

加法

同型矩阵可以做加法

A+B=(a_{ij}+b_{ij})

加法运算法则（ $A,B,C$ 同型）

$A+B=B+A$
$(A+B)+C=A+(B+C)=A+B+C$
$A+O=O+A=A$
$A+(-A)=O$

数乘

数乘，注意不要和行列式混

kA=(ka_{ij})

数乘运算法则

$k(mA)=m(kA)=(km)A$
$(k+m)A=kA+mA$
$k(A+B)=kA+kB$
$1A=A,0A=O$

乘法

\begin{gathered} A=(a_{ij})_{m\times s},B=(b_{ij})_{s\times n}\\ AB=C=(c_{ij})_{m\times n}\\ c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{is}b_{sj}=\sum\limits_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj} \end{gathered}

注意：

$AB\ne BA$
$AB=O\nRightarrow A=O或B=O$
$AB=AC,A\ne O\nRightarrow B=C$

对于向量，行在前列在后，乘出来是数；行在后列在前，乘出来是方阵

转置

设 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ ，将 $A$ 和行、列互换，得到的 $n\times m$ 的矩阵 $(a_{ji})_{n\times m}$ 称为 $A$ 的转置矩阵，记为 $A^{T}$

转置运算法则：

$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}$
$(kA)^{T}=kA^{T}$
$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$
$(A^{T})^{T}=A$

对角矩阵

\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}

这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是 $0$ ，我们把这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵，对角阵也记作 $\Lambda=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$

有

diag(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})diag(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})=diag(a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\cdots,a_{n}b_{n})

运算法则

$\Lambda_{1}\Lambda_{2}=\Lambda_{2}\Lambda_{1}$
$diag(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})^{k}=diag(a_{1}^{k},a_{2}^{k},\cdots,a_{n}^{k})$
$diag(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})diag(\frac{1}{a_{1}},\frac{1}{a_{2}},\cdots, \frac{1}{a_{n}})=diag(1,1,\cdots,1)$

$diag(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})^{-1}=diag(\frac{1}{a_{1}},\frac{1}{a_{2}},\cdots, \frac{1}{a_{n}})$

例：设 $\alpha=\begin{pmatrix}2 & 3 & 1 \end{pmatrix}^{T},\beta=\begin{pmatrix}3 & -1 & 2\end{pmatrix}^{T}$

\begin{aligned} \alpha \beta^{T}&=\begin{pmatrix} 6 & -2 & 4 \\ 9 & -3 & 6 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}\\ \beta \alpha^{T}&=\begin{pmatrix} 6 & 9 & 3 \\ -2 & -3 & -1 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix}\\ \alpha^{T}\beta&=5\\ \beta^{T} \alpha&=5\\ &\alpha \beta^{T},\beta \alpha^{T},\alpha^{T}\beta,\beta^{T} \alpha的迹相等\\ \alpha \alpha^{T}&=\begin{pmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 4 & 9 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}是对称矩阵\\ \alpha^{T}\alpha&=2^{2}+3^{2}+1^{2}=14是个元素的平方和 \end{aligned}

例：

\begin{cases} x_{1}+2x_{2}-x_{3}+4x_{4}=2 \\ 2x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ x_{1}+7x_{2}-4x_{3}+11x_{4}=5 \end{cases}

可表示为

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 7 & -4 & 11 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}

记作

Ax=b

向量表示

\begin{pmatrix} \alpha_{1} & \alpha_{2} & \alpha_{3} & \alpha_{4} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{pmatrix}=b

即

x_{1}\alpha_{1}+x_{2}\alpha_{2}+x_{3}\alpha_{3}+x_{4}\alpha_{4}=b

例： $\alpha=(1,2,3),\beta=(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3}),A=\alpha^{T}\beta$ ，则 $A^{n}=()$

有行有列相乘中间有数

\begin{aligned} A^{n}&=(\alpha^{T}\beta)(\alpha^{T}\beta)\cdots(\alpha^{T}\beta)\\ &=\alpha^{T}(\beta \alpha^{T})(\beta \alpha^{T})\cdots(\beta \alpha^{T})\beta\\ &=3^{n-1}\alpha^{T}\beta\\ &=3^{n-1}\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} \\ 2 & 1 & \frac{2}{3} \\ 3 & \frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

例：设 $A=E-\xi \xi^{T}$ ，其中 $\xi$ 是 $n$ 为非 $0$ 列向量，证明： $A^{2}=A\Leftrightarrow \xi^{T}\xi=1$

\begin{aligned} A^{2}&=(E-\xi \xi^{T})(E-\xi \xi^{T})\\ &=(E-\xi \xi^{T})-\xi \xi^{T}+\xi \xi^{T} \xi \xi^{T}\\ &=A+(\xi^{T}\xi-1)\xi \xi^{T} \end{aligned}

由于 $\xi\ne0$ ，则 $\xi \xi^{T}\ne0$

\begin{aligned} A^{2}=A&\Leftrightarrow(\xi^{T}\xi-1)\xi \xi^{T}=0\\ &\Leftrightarrow\xi^{T}\xi-1=0\\ &\Leftrightarrow\xi^{T}\xi=1 \end{aligned}

二、伴随矩阵、可逆矩阵

伴随矩阵

$A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$

A^{*}=\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots &  & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix},其中A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

例：求 $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ 的伴随矩阵

A_{11}=d,A_{12}=-c,A_{21}=-b,A_{22}=a

有

\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^{*}=\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

主对角线互换，副对角线变号

伴随矩阵的公式

$AA^{*}=A^{*}A=|A|E$

\begin{aligned} AA^{*}&=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} \\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12} & a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22} \\ a_{21}A_{11}+a_{22}A_{12} & a_{21}A_{21}+a_{22}A_{22} \end{pmatrix}\\ &=\begin{pmatrix} |A| & 0 \\ 0 & |A| \end{pmatrix}\\ &=|A|\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*},A^{*}=|A|A^{-1}$ ，其实是由上式移项出来的

$(kA)^{*}=k^{n-1}A^{*}$
$(A^{*})^{T}=(A^{T})^{*}$
$|A^{*}|=|A|^{n-1}$
$(A^{*})^{*}=|A|^{n-2}A$
$(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}=\frac{1}{|A|}A$

可逆矩阵

对于 $n$ 阶矩阵 $A$ ，如果存在 $n$ 阶矩阵 $B$ 使

AB=BA=E

则称矩阵 $A$ 是可逆的，称 $B$ 是 $A$ 的逆矩阵

结论：如果矩阵 $A$ 是可逆的，那么 $A$ 的逆矩阵是唯一的，记作 $A^{-1}$

证明：设 $B,C$ 都是 $A$ 的逆矩阵，即

AB=BA=E,AC=CA=E

有

B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C

证毕

定理： $A$ 可逆 $\Leftrightarrow|A|\ne0$

推论： $A,B$ 是 $n$ 阶矩阵，如 $AB=E$ ，则 $A^{-1}=B$

证明：

由 $AB=E$

有

|A|\cdot|B|=|E|=1\ne0

所以 $A$ 可逆

BA=EBA=(A^{-1}A)BA=A^{-1}(AB)A=A^{-1}EA=E

所以 $A^{-1}=B$

逆矩阵的性质

如果 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 也可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$
如果 $A$ 可逆，且 $k\ne0$ ，则 $kA$ 可逆，且 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
如果 $A,B$ 均可逆，则 $AB$ 也可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

推广 $ABC=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$

如果 $A$ 可逆，则 $A^{T}$ 也可逆，且 $(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T}$

求逆矩阵方法

定义法： $AB=E$
用伴随（常用于二阶矩阵，三阶也行）： $A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{*}$
初等行变换： $(A|E)\overset{由上往下}{\longrightarrow}(上三角矩阵|矩阵)\overset{由下往上}{\longrightarrow}(对角矩阵|矩阵)\rightarrow(E|A^{-1})$
分块： $\begin{pmatrix}A & O \\ O & B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1} & O \\ O & B^{-1}\end{pmatrix}\quad \begin{pmatrix}O & A \\ B & O\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}O & B^{-1} \\ A^{-1} & O\end{pmatrix}$

例：设 $A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3\end{pmatrix}$ ，求 $A^{-1}$

\begin{aligned} (A|E)&=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -6 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\\ &\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -5 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 0 & 3 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\\ &\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & 0 & 3 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{3}{2} & -3 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{aligned}

例： $A$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $A^{2}-3A-2E=0$ ，表示 $A^{-1},(A+E)^{-1}$

求谁的逆由谁出发，构造题中给出的等式，移项使得构造出的等式右端为 $E$ ，此时左端应为谁乘一个矩阵，该矩阵记为所求

在构造矩阵的时候，先降次构造不全为 $E$ 的部分， $E$ 用来补全等式

\begin{aligned} A(A-3E)-2E&=0\space先构造带有A^{2}的部分，然后补全AE，最后补E\\ A\cdot \frac{1}{2}(A-3E)=E \end{aligned}

显然 $A^{-1}=\frac{1}{2}(A-3E)$

\begin{aligned} (A+E)(A-4E)+2E&=0\space依旧是先构造带有A^{2}的部分，然后补全AE\\ &注意此处构造出(A+E)(A\cdots)时，式子乘开已经含有一个AE\\ &因此接下来构造AE需要-4AE即-4E\\ &最后整个乘开看和题中等式差几个E，补上\\ &(A+E)\cdot \frac{1}{2}(4E-A)=E \end{aligned}

显然 $(A+E)^{-1}=\frac{1}{2}(4E-A)$

例：已知 $A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ ，且 $AXA+BXB=AXB+BXA+E$ ，则 $X=()$

\begin{aligned} AXA+BXB-AXB-BXA&=E\\ AX(A-B)+BX(B-A)&=E\\ (A-B)X(A-B)&=E\\ X&=(A-B)^{-1}E(A-B)^{-1}\\ X&=[(A-B)^{-1}]^{2}\\ &=[\begin{pmatrix}1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{-1}]^{2}\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{2}\\ &=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

例： $A$ 是 $n$ 阶矩阵，存在自然数 $k$ ，使得 $A^{k}=O$ ，证明 $E-A$ 可逆并求其逆

思路同上面构造逆矩阵

注意构造的矩阵是为了构造不含 $E$ 的部分

由 $A^{k}=O$ ，有

(E-A)(E+A+A^{2}+\cdots+A^{k-1})-E=-A^{k}=O

即

\begin{aligned} (E-A)(E+A+A^{2}+\cdots+A^{k-1})=E \end{aligned}

因此 $E-A$ 可逆，显然 $(E-A)^{-1}=E+A+A^{2}+\cdots+A^{k-1}$

一、行列式的概念

1. 二、三阶行列式

行列式的结果是数，是不同行不同列元素乘积的代数式

2. 排序、逆序、逆序数

由 $1,2,\cdots,n$ 组成的有序数组称为一个 $n$ 阶排列，通常用 $j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}$ 表示 $n$ 阶排列

例如：

$2,4,1,3\quad 4阶排列$

$1,3,5,4,2\quad 5阶排列$

一个排列中，如果一个大的数排在一个小的数的前面，就称这两个数构成一个逆序。

一个排列的逆序的总数称为这个排列的逆序数，用 $\tau(j_{1},j_{2},\cdots,j_{n})$ 表示排列 $j_{1},j_{2},\cdots,j_{n}$ 的逆序数

如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列是偶排列，否则称为奇排列

$\tau(1,3,2)=0+1$

$\tau(2,4,3,1)=1+2+1=4$

$1,2,3,\cdots,n\quad 自然排列(偶排列)$

3. $n$ 阶行列式概念

$\begin{vmatrix}{ a _ { 11 } } & { a _ { 12 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 21 } } & { a _ { 22 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { a _ { n 1 } } &{ a _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { n n }}\end{vmatrix}=\sum\limits_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}(-1)^{\tau(j_{1}j_{2}\cdots j_{n})}a_{1j_{1}}a_{2j_{2}}\cdots a_{nj_{n}}$

不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积的代数和。当 $j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$ 是偶排列时该项前面带正号；当 $j_{1}j_{2}\cdots j_{n}$ 时奇排列时，该项前面带负号

$n$ 阶行列式完全展开式有 $n!$ 项

二、行列式的性质

经转置行列式值不变

行的性质和列的性质是相同的

某行有公因数 $k$ 可把 $k$ 提出

特别的，若某行元素全为 $0$ ，则 $D=0$

两行互换行列式的值变号

特别的，两行相同 $\Rightarrow D=0$ ；两行成比例 $\Rightarrow D=0$

如果行列式某行每一项都是两个数的和，则可以把行列式拆成两个行列式的和
把某行的 $k$ 倍加到另外一行，行列式的值不变

例：证明 $\forall a,b,c ,\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\b+c&c+a&a+b\end{vmatrix}=0$

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ b+c&c+a&a+b \end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ a+b+c&a+b+c&a+b+c \end{vmatrix}\\ &=(a+b+c)\begin{vmatrix} 1&1&1\\ a&b&c\\ 1&1&1 \end{vmatrix}=0 \end{aligned}

例：证明 $\begin{vmatrix}b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}$

\begin{aligned} D&=2\begin{vmatrix}a_{1}+b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{vmatrix}\quad 该步是为了得到系数2\\ &=2\begin{vmatrix}a_{1}+b_{1}+c_{1}&-b_{1}&-c_{1}\\a_{2}+b_{2}+c_{2}&-b_{2}&-c_{2}\\a_{3}+b_{3}+c_{3}&-b_{3}&-c_{3}\end{vmatrix}\quad 得到二三列\\ &=2\begin{vmatrix}a_{1}&-b_{1}&-c_{1}\\a_{2}&-b_{2}&-c_{2}\\a_{3}&-b_{3}&-c_{3}\end{vmatrix}\\ &=2\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix} \end{aligned}

用拆行列式的方法

\begin{aligned} \begin{vmatrix}b_{1}+c_{1}&c_{1}+a_{1}&a_{1}+b_{1}\\b_{2}+c_{2}&c_{2}+a_{2}&a_{2}+b_{2}\\b_{3}+c_{3}&c_{3}+a_{3}&a_{3}+b_{3}\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix} b_{1}&c_{1}&a_{1}\\ b_{2}&c_{2}&a_{2}\\ b_{3}&c_{3}&a_{3} \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c_{1}&a_{1}&b_{1}\\ c_{2}&a_{2}&b_{2}\\ c_{3}&a_{3}&b_{3}\\ \end{vmatrix}\tag{1}\\ &=2\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix} \end{aligned}

对于 $(1)$ ，选择拆第一列，如果第一列留 $b$ ，第二列 $c,a$ 可以任选，如果 $b+c$ 组合，第三列只能选 $a$ ，如果选 $b$ ，组成 $b+c+b$ ，行列式为 $0$ ；如果 $b+a$ 组合，无论第三列选 $a,b$ ，行列式都为 $0$ 。第一列选 $c$ 同理。最后只剩两个不为 $0$ 的行列式，即 $(1)$ 式

三、按行（列）展开公式

1. 代数余子式

在 $n$ 阶行列式

$D = \begin{vmatrix} { a _ { 11 } } & { a _ { 12 } } & { \cdots } & { a _ { 1 n } } \\ { a _ { 21 } } & { a _ { 22 } } & { \cdots } & { a _ { 2 n } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { a _ { n 1 } } & { a _ { n 2 } } & { \cdots } & { a _ { nn }}\end{vmatrix}$

中划去 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 $n-1$ 阶的行列式

\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i-1,1}&\cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&\cdots&a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}&\cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&\cdots&a_{i+1,n}\\ \vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}

称为 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ ；称 $(-1)^{i+j}M_{ij}$ 为 $a_{ij}$ 的代数余子式，记为 $A_{ij}$ ，即

A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}

2. 展开公式

$n$ 阶行列式等于它的任一一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

\begin{aligned} |A|=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}=\sum\limits^{n}_{k=1}a_{ik}A_{ik},i=1,2,\cdots,n\\ |A|=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}=\sum\limits^{n}_{k=1}a_{kj}A_{kj},j=1,2,\cdots,n \end{aligned}

某一行的所有元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和等于 $0$

\begin{aligned} \sum\limits^{n}_{k=1}a_{ik}A_{jk}=a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn},i\ne j\\ \sum\limits^{n}_{k=1}a_{ki}A_{kj}=a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+\cdots+a_{ni}A_{nj},i\ne j \end{aligned}

特殊情况

上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积

\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ 0&0&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&0\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

关于副对角线的行列式

\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1,n-1}&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2,n-1}&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{n1}&0&\cdots&0&0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots &  & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n-1}

两个特殊的拉普拉斯展开式

如果 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶矩阵，则

\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & * \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B} \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{O} \\ * & \boldsymbol{B} \end{vmatrix}=|\boldsymbol{A}|\cdot|\boldsymbol{B}|

\begin{vmatrix} \boldsymbol{O}&\boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{B}&* \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} *&\boldsymbol{A}\\ \boldsymbol{B}&\boldsymbol{O} \end{vmatrix}=(-1)^{nm}|\boldsymbol{A}||\boldsymbol{B}|

范德蒙行列式

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1} \end{vmatrix}=\prod_{1\leq j<i\leq n}(x_{i}-x_{j})

例如

\begin{vmatrix} 1&1&1\\ x_{1}&x_{2}&x_{3}\\ x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2} \end{vmatrix}=(x_{2}-x_{1})(x_{3}-x_{1})(x_{3}-x_{2})

例：计算行列式的值 $D=\begin{vmatrix}a+x & a & a & a \\ a & a+x & a & a \\ a & a & a+x & a \\ a & a & a & a+x\end{vmatrix}$

行列式相同元素在不同行列上出现有规律，看看能不能提出来系数

常用操作

把所有行/列，加到第一行/列
逐行相加/相减
将第一行/列（乘 $-1$ ），加大后面的每一行/列（爪型行列式：即只有第一行、第一列、主对角线上非零）；最后一行/列同理。最终目的化成上三角或下三角行列式

\begin{aligned} D&=\begin{vmatrix} 4a+x & 4a+x & 4a+x & 4a+x \\ a & a+x & a & a \\ a & a & a+x & a \\ a & a & a & a+x \end{vmatrix}\\ &=(4a+x)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & a+x & a & a \\ a & a & a+x & a \\ a & a & a & a+x \end{vmatrix}\\ &=(4a+x)\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & x & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x \end{vmatrix}\\ &=(4a+x)x^{3} \end{aligned}

以下两题属于 $\lambda$ 的三次方程，故应用观察法对行列式恒等变形以期某一行（或列）出现 $\lambda-a$ 的因式，方便解三次方程

观察法非常重要，经常需要多次尝试

例：已知 $\begin{vmatrix}\lambda-1 & 1 & -1 \\ -2 & \lambda-4 & 2 \\ 3 & 3 & \lambda-5\end{vmatrix}=0$ ，求 $\lambda$

\begin{aligned} 原式&=\begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & -1 \\ 0 & \lambda-4 & 2 \\ \lambda-2 & 3 & \lambda-5 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \lambda-2 & 1 & -1 \\ 0 & \lambda-4 & 2 \\ 0 & 2 & \lambda-4 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-2)\begin{vmatrix} \lambda-4 & 2 \\ 2 & \lambda-4 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-2)(\lambda^{2}-8\lambda+12)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-6) \end{aligned}

所以 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=2,\lambda_{3}=6$

例：已知 $\begin{vmatrix}\lambda & -2 & 2 \\ -2 & \lambda-4 & -4 \\ 2 & -4 & \lambda+3\end{vmatrix}=0$ ，求 $\lambda$

把第一列的 $-2$ 倍加到第三列

\begin{aligned} 原式&=\begin{vmatrix} \lambda & -2 & 2-2\lambda \\ -2 & \lambda-4 & 0 \\ 2 & -4 & \lambda-1 \end{vmatrix}\\ &=\begin{vmatrix} \lambda+4 & -10 & 0 \\ -2 & \lambda-4 & 0 \\ 2 & -4 & \lambda-1 \end{vmatrix}\\ &=(\lambda-1)(\lambda^{2}-36) \end{aligned}

所以 $\lambda_{1}=1,\lambda_{2}=6,\lambda_{3}=-6$

四、克拉默法则

\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{21}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=b_{1}, \\ a_{21}x_{1}+a_{21}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}, \\ \cdots \\ a_{1n}x_{1}+a_{2n}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=b_{n}\\ \end{cases}

如果系数行列式 $D=|A|\ne0$ ，则方程组有唯一解，且

x_{1}=\frac{D_{1}}{D},x_2=\frac{D_{2}}{D},\cdots,x_n=\frac{D_{n}}{D}

其中

D_{j}=\begin{vmatrix} a_{11}&\cdots&a_{1,j-1}&b_{1}&a_{1,j+1}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{n,j-1}&b_{n}&a_{n,j+1}&\cdots&a_{nn} \end{vmatrix}

常用于证明题，很少用于求解方程组，一般行列式是特殊的行列式可能用于求方程组（范德蒙行列式）

推论1：若齐次方程组

\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{21}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=0, \\ a_{21}x_{1}+a_{21}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0, \\ \cdots \\ a_{1n}x_{1}+a_{2n}x_{2}+\cdots+a_{nn}x_{n}=0\\ \end{cases}

的系数行列式不为 $0$ ，则方程组只有一组零解，即

x_{1}=0,x_{2}=0,\cdots,x_{n}=0

推论2（推论1逆否命题）：若齐次方程组有非零解，则它的系数行列式必为 $0$

【线性代数基础进阶】矩阵