数列极限数列的极限（1）定义（2）按照定义证明数列极限（例1、例2、例3）（3）按照定义证明数列发散（例4）（4

数列的极限

（1）定义

 正整数N ，当时，成立。

（2）按照定义证明数列极限（例1、例2、例3）

      ①  将数列通式带入定义中的不等式。

      ②  对不等式进行化简。

      ②  根据所得不等式找到确定的N，使得大于N时等式成立。

            化简方法1：找到所得不等式右边还要大的式子 ，由有这个大的式子找到确定的N，使等式成立。

             例：，,    

            化简方法2：当式子中有指数时，可不等式两边取对数。

（3）按照定义证明数列发散（例4）

      ①  构造特定值给带入不等式。

      ②  证明不等式不成立，或不存在这样的N。

（4）收敛数列的性质

      ①   唯一性  收敛数列极限唯一               

          （书中用反证法，通过取，构造这个特定值，再通过将两个不等式去绝对值符号得到矛盾，证明性质）

      ②   有界性，收敛数列有界   

           （书中通过取，构造这个特定值，将变为，然后通过不等式性质得出）

      ③    保号性         

              当收敛于a时， a > 0，则 正整数N，当n >N 时，  > 0。

            （书中通过取，构造这个特定值，去绝对值变为，得出结论）

      ④    保号性推论（极限存在，从某项起0（0）， 那么a0（a0））

              通过反证法，结合保号性性质可以得证。

      ⑤    收敛数列的任一子数列也收敛，且极限为a。

5）可以根据收敛数列的性质（唯一性，有界性，保号性，子数列也收敛，极限也是a），证明数列发散。

  例：

       ①     发散  （, 无界，故发散）

       ②     （n为奇数时极限为0， n为偶数时，极限为,即，极限为2，子数列极限不相等，  故发散）

（2）几个重要推论

① 数列 $a_{n}$ 有极限a, 则数列 $\left | a_{n} \right |$ 有极限 $\left | a \right |$ ，反正一个数列的绝对值 $\left | a_{n} \right |$ 有极限，数列本身 $a_{n}$ 不一定有极限。

② 如何数列的奇数项和偶数项都有极限，且相等，那么数列存在极限，等于奇数项和偶数项的极限。