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贝祖定理是一个关于最大公约数的定理：

若a，b是整数，那么对于任意整数x，y，ax+by是gcd(a,b)的倍数，且一定存在x，y使得ax+by=gcd(a,b)成立。

定理内容较为简单，但光看定理的内容貌似没有太大用处，我们应该着手解决一下如何求出x，y，于是，可以引出扩展欧几里得。

扩展欧几里得

当求ax+by=gcd(a,b)时，我们可以用一组特解x0，y0来表示x和y的通解： $x=x_0+b/gcd(a,b)*t$ $y=y0+a/gcd(a,b)*t$ 这里的“/”为向下取整。 试图找出相邻两状态之间的关系： 当前状态有：a，b，以及一组解x，y 下一状态有：a，a%b，以及一组解x1，y1 因为a%b=a-(a/b)*b， 带入可得： $gcd(a,b)=bx_1+ay_1-(a/b)*by_1$ $=ay_1+b*(x_1-a/b*y_1)$ 于是可以发现： $x=y_1,y=x_1-(a/b)*y_1$ 便可由下一状态通过递归得到现在的状态。

更简洁的证明

$设ax+by=gcd(a,b)$ $ax_2+by_2=gcd(b,a\space mod\space b)=bx_2+(a\space mod\space b)*y_2$ 由欧几里得算法得到：$gcd(a,b)=gcd(b,a\space mod\space b)$ 即：$ax+by=bx_2+(a\space mod\space b)y_2$ 而$a\space mod\space b=a-b*(a/b)$ 代入得： $ax+by=bx_2+(a-b*(a/b))*y_2=bx_2+ay_2-b*(a/b)*y_2$ 解得： $x=y_2$ $by=bx_2-b*(a/b)*y_2，解得：y=x_2-(a/b)*y_2$

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    int r = exgcd(b, a%b, x, y);
    int t = y;
    y = x - (a/b) * y;
    x = t;
    return r;
}

总结：

当欧几里得递归到最后时，此时的‘a’就是gcd(a,b)，因而直接令x=1，y=0，再通过相邻两层递归之间的关系求解出上一层递归中的x，y。