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[APIO2014] 连珠线

题目描述

在达芬奇时代，有一个流行的儿童游戏称为连珠线。当然，这个游戏是关于珠子和线的。线是红色或蓝色的，珠子被编号为 $1$ 到 $n$ 。这个游戏从一个珠子开始，每次会用如下方式添加一个新的珠子：

Append(w, v)：一个新的珠子 $w$ 和一个已经添加的珠子 $v$ 用红线连接起来。

Insert(w, u, v)：一个新的珠子 $w$ 插入到用红线连起来的两个珠子 $u, v$ 之间。具体过程是删去 $u, v$ 之间红线，分别用蓝线连接 $u, w$ 和 $w, v$ 。

每条线都有一个长度。游戏结束后，你的最终得分为蓝线长度之和。

给你连珠线游戏结束后的游戏局面，只告诉了你珠子和链的连接方式以及每条线的长度，没有告诉你每条线分别是什么颜色。

你需要写一个程序来找出最大可能得分。即，在所有以给出的最终局面结束的连珠线游戏中找出那个得分最大的，然后输出最大可能得分。

输入格式

第一行一个正整数 $n$ ，表示珠子的数量。珠子从 $1$ 到 $n$ 编号。

接下来 $n - 1$ 行每行三个整数 $a_i, b_i, c_i$ 。保证 $1 \leq a_i < b_i \leq n$ 。 $1 \leq c_i \leq 10000$ 。表示 $a_i$ 号珠子和 $b_i$ 号珠子间连了长度为 $c_i$ 的线。

输出格式

输出一个整数，表示最大可能得分。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

样例 #2

样例输入 #2

样例输出 #2

提示

【样例描述1】

可以通过如下方式获得 $60$ 分：首先从 $3$ 号珠子开始。

把 $5$ 和 $3$ 连起来。（线长度任意）

在 $3$ 和 $5$ 之间插入 $1$ 。（线长分别为 $40$ 和 $20$ ）。

把 $2$ 和 $1$ 用长度为 $10$ 的线连起来。

把 $4$ 和 $1$ 用长度为 $15$ 的线连起来。

【限制与约定】

第一个子任务共 13 分，满足 $1 \leq n \leq 10$ 。

第二个子任务共 15 分，满足 $1 \leq n \leq 200$ 。

第三个子任务共 29 分，满足 $1 \leq n \leq 10000$ 。

第四个子任务共 43 分，满足 $1 \leq n \leq 200000$ 。

#include<cstdio>
#include<climits>
typedef long long ll;
int cnt=0;
ll mx1[200005],mx2[200005],vg[200005];
ll f[200005][2],g[200005][2],k[200005][2];
int son1[200005],son2[200005];
int h[200005],to[400005],ver[400005],w[400005];
inline int read() {
	register int x=0,f=1;register char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0') {if(s=='-') f=-1;s=getchar();}
	while(s>='0'&&s<='9') {x=x*10+s-'0';s=getchar();}
	return x*f;
}
inline void add(int x,int y,int z) {
	to[++cnt]=y;
	ver[cnt]=h[x];
	w[cnt]=z;
	h[x]=cnt;
}
inline void swap(int &x,int &y) {int tmp=x;x=y;y=tmp;}
inline void swap(ll &x,ll &y) {ll tmp=x;x=y;y=tmp;}
inline ll max(const ll &x,const ll &y) {return x>y? x:y;}
inline void dfs1(int x,int fa) {
	mx1[x]=mx2[x]=INT_MIN; son1[x]=son2[x]=0;
	for(register int i=h[x];i;i=ver[i]) {
		int y=to[i];
		if(y==fa) continue;
		vg[y]=w[i];dfs1(y,x);
		f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]+w[i]);
		ll val=f[y][0]+w[i]-max(f[y][0],f[y][1]+w[i]);
		if(mx1[x]<val) {son2[x]=son1[x];mx2[x]=mx1[x];son1[x]=y;mx1[x]=val;}
		else if(mx2[x]<val) {son2[x]=y;mx2[x]=val;}	
	}
	f[x][1]=f[x][0]+mx1[x];
}
inline void dfs2(int x,int fa) {
	for(register int i=h[x];i;i=ver[i]) {
		int y=to[i];
		if(y==fa) continue;
		if(son1[x]==y) {swap(mx1[x],mx2[x]);swap(son1[x],son2[x]);}
		k[x][0]=g[x][0]-max(f[y][0],f[y][1]+w[i]);k[x][1]=k[x][0]+mx1[x];
		if(fa!=-1) {k[x][1]=max(k[x][1],k[x][0]+k[fa][0]+vg[x]-max(k[fa][0],k[fa][1]+vg[x]));}
		g[y][0]=f[y][0]+max(k[x][0],k[x][1]+w[i]);
		if(mx1[x]<mx2[x]) {swap(mx1[x],mx2[x]);swap(son1[x],son2[x]);}
		dfs2(y,x);
	}
}
int main() {
	int n=read(); ll ans=0;
	for(register int i=1;i<n;++i) {int x=read(),y=read(),z=read(); add(x,y,z);add(y,x,z);}
	dfs1(1,-1); g[1][0]=f[1][0]; dfs2(1,-1);
	for(register int i=1;i<=n;++i) ans=max(ans,g[i][0]);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

【动态规划】连珠线