图形学的数学基础（八）：矩阵线性变换

kenshin
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图形学的数学基础（八）：矩阵线性变换

我们可以通过添加一些值到它的坐标来平移一个点。 我们还可以利用三角函数来旋转矢量。 简而言之，矩阵只是将所有这些变换(缩放、旋转、反射、错切、平移)组合成一个单一结构的一种方式。 通过矩阵的方式我们可以方便的对空间中的点或矢量进行变换，而不用写一大堆的公式。这就是矩阵为何在图形渲染管线中存在重要意义的原因。图形中的任意变换都可以通过一个矩阵完成。 对同一个对象的多次变换可以通过矩阵乘积转换为单个矩阵。如下图：

注：本文所有推导和公式均使用列矢量形式。

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线性变换

缩放（Scale）

沿主轴缩放

最简单的缩放是沿每个轴线应用单独的或者统一的缩放。

均匀缩放

保留原始对象的角度和比例， 使被缩放对象统一增大或者减少s因子。

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[x丶y丶]=[S00S][xy]\begin{bmatrix}x^丶\\y^丶\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}S&0\\0&S\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}

同理三维空间中采用以下形式:

[x丶y丶z丶]=[S000S000S][xyz]\begin{bmatrix}x^丶\\y^丶\\z^丶\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}S&0&0\\0&S&0\\0&0&S\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}

非均匀缩放

如果希望"拉伸"或者"挤压"对象,则可以在不同方向上应用不同的缩放因子，这样会导致非均匀缩放。非均匀缩放不会保留原始对象的角度。

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[x丶y丶]=[Sx00Sy][xy]\begin{bmatrix}x^丶\\y^丶\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}S_x&0\\0&S_y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}

同理三维空间中采用以下形式:

[x丶y丶z丶]=[Sx000Sy000Sz][xyz]\begin{bmatrix}x^丶\\y^丶\\z^丶\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}S_x&0&0\\0&S_y&0\\0&0&S_z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}

任意方向缩放

除了沿主轴线缩放外，还可以应用独立于坐标系的缩放，即沿任意方向的缩放。设n^\hat{n}缩放方向（缩放沿着n^\hat{n}执行），缩放因子s。以下将逐步实现沿任意方向缩放的方法。

step1: 推导表达式，给定任意矢量v\mathbf{v}，用v,s,n^\mathbf{v},s,\hat{n}计算v丶\mathbf{v^丶}。基本思路是将矢量v\mathbf{v}在n^\hat{n}上投影，分解为v∥⃗和v⊥⃗\vec{v_∥}和\vec{v_⊥}。其中v∥⃗\vec{v_∥}根据k因子缩放，v⊥⃗\vec{v_⊥}保持不变。以下为推导过程：

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v⃗=v∥⃗+v⊥⃗\vec{v} = \vec{v_∥} + \vec{v_⊥}

v∥⃗=(v⃗.n^)n^\vec{v_∥} = (\vec{v}.\hat{n})\hat{n}

v⊥丶⃗=v⊥⃗=v⃗−v∥⃗=v⃗−(v⃗.n^)n^\vec{v^丶_⊥} = \vec{v_⊥} = \vec{v} - \vec{v_∥} = \vec{v} - (\vec{v}.\hat{n})\hat{n}

v∥丶⃗=sv∥⃗=s(v⃗.n^)n^\vec{v^丶_∥} = s\vec{v_∥} = s(\vec{v}.\hat{n})\hat{n}

v丶⃗=v⊥丶⃗+v∥丶⃗=v⃗−(v⃗.n^)n^+s(v⃗.n^)n^=v⃗+(s−1)(v⃗.n^)n^\vec{v^丶} = \vec{v^丶_⊥} + \vec{v^丶_∥} = \vec{v} - (\vec{v}.\hat{n})\hat{n} + s(\vec{v}.\hat{n})\hat{n} = \vec{v} + (s-1)(\vec{v}.\hat{n})\hat{n}

step2: 既然我们知道了如何缩放任意矢量，则可以计算出缩放后的基矢量值，将原始基矢量x=[10],y=[01]x = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},y = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}带入上式可得：

x丶⃗=x⃗+(s−1)(x⃗.n^)n^=[10]+(s−1)([10].[nxny]).[nxny]=[10]+(s−1)nx.[nxny]=[1+(s−1)nx2(s−1)nxny]\vec{x^丶} = \vec{x} + (s-1)(\vec{x}.\hat{n})\hat{n}\\\quad\quad= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + (s-1)(\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}.\begin{bmatrix}n_x\\n_y\end{bmatrix}).\begin{bmatrix}n_x\\n_y\end{bmatrix} \\\quad\quad= \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} + (s-1)n_x.\begin{bmatrix}n_x\\n_y\end{bmatrix} \\\quad\quad= \begin{bmatrix}1 + (s-1){n_x}^2\\(s-1)n_xn_y\end{bmatrix}

y丶⃗=[(s−1)nxny1+(s−1)(ny)2]\vec{y^丶} = \begin{bmatrix}(s-1)n_xn_y\\1 + (s-1)(n_y)^2\end{bmatrix}

推导出二维和三维矢量空间沿任意方向n^\hat{n}缩放s的矩阵为：

Scale2(n^,s)=[1+(s−1)(nx)2(s−1)nxny(s−1)nxny1+(s−1)ny2]\textbf{Scale}^2(\hat{n},s) = \begin{bmatrix}1 + (s-1)(n_x)^2&&(s-1)n_xn_y\\(s-1)n_xn_y&&1+(s-1){n_y}^2\end{bmatrix}

Scale3(n^,s)=[1+(s−1)(nx)2(s−1)nxny(s−1)nxnz(s−1)nxny1+(s−1)ny2(s−1)nynz(s−1)nxnz(s−1)nynz1+(s−1)nz2]\textbf{Scale}^3(\hat{n},s) = \begin{bmatrix}1 + (s-1)(n_x)^2&&(s-1)n_xn_y&&(s-1)n_xn_z\\(s-1)n_xn_y&&1+(s-1){n_y}^2&&(s-1)n_yn_z\\(s-1)n_xn_z&&(s-1)n_yn_z&&1+(s-1){n_z}^2\end{bmatrix}

反射（Reflection）

反射其实是一种特殊的缩放，即按照某个轴线执行-1缩放。

沿主轴线的反射

reflection.png [x丶y丶]=[−1001][xy]\begin{bmatrix}x^丶\\y^丶\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}

沿任意轴反射

根据沿任意轴缩放得到的矩阵公式，将-1带入，可得沿任意轴反射的矩阵公式：

Reflection2(n^)=[1+(−1−1)(nx)2(−1−1)nxny(−1−1)nxny1+(−1−1)ny2]\textbf{Reflection}^2(\hat{n}) = \begin{bmatrix}1 + (-1-1)(n_x)^2&&(-1-1)n_xn_y\\(-1-1)n_xn_y&&1+(-1-1){n_y}^2\end{bmatrix}

Reflection3(n^)=[1+(−1−1)(nx)2(−1−1)nxny(−1−1)nxnz(−1−1)nxny1+(−1−1)ny2(−1−1)nynz(−1−1)nxnz(−1−1)nynz1+(−1−1)nz2]\textbf{Reflection}^3(\hat{n}) = \begin{bmatrix}1 + (-1-1)(n_x)^2&&(-1-1)n_xn_y&&(-1-1)n_xn_z\\(-1-1)n_xn_y&&1+(-1-1){n_y}^2&&(-1-1)n_yn_z\\(-1-1)n_xn_z&&(-1-1)n_yn_z&&1+(-1-1){n_z}^2\end{bmatrix}

错切（Shaearing）

错切是一种“倾斜”坐标空间的变形。它将不均匀的拉伸空间，不保留角度。但是保留面积和体积。基本思路是将一个坐标的倍数添加到另一个坐标上。 shearing.jpg

[x丶y丶]=[1a01][xy]\begin{bmatrix}x^丶\\y^丶\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}

二维错切矩阵公式：

Hx(s)=[1s01]\textbf{H}_x(s) = \begin{bmatrix}1&s\\0&1\end{bmatrix} (沿x轴方向拉拽)

Hy(s)=[10s1]\textbf{H}_y(s) = \begin{bmatrix}1&0\\s&1\end{bmatrix} (沿y轴方向拉拽)

三维错切矩阵公式：

Hxy(s,t)=[100010st1]\textbf{H}_{xy}(s,t) = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\s&t&1\end{bmatrix}

Hxz(s,t)=[100s1tst1]\textbf{H}_{xz}(s,t) = \begin{bmatrix}1&0&0\\s&1&t\\s&t&1\end{bmatrix}

Hyz(s,t)=[1st010st1]\textbf{H}_{yz}(s,t) = \begin{bmatrix}1&s&t\\0&1&0\\s&t&1\end{bmatrix}

旋转（Rotation）

二维空间绕原点的旋转

在二维空间中只能绕点旋转，本小节公式和实例将旋转点限定为坐标系原点（绕任意点的旋转需要先平移 再旋转 再平移回去，涉及到齐次坐标，暂不讨论）。 定义二维空间中旋转角度为θ\theta，根据三角函数的定义可知，基矢量x⃗,y⃗\vec{x},\vec{y}绕原点旋转后得到x丶⃗,y丶⃗\vec{x^丶},\vec{y^丶}如下图所示：

rotation2d.png

R(θ)=[cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ]\textbf{R}(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}

三维空间绕主轴线的旋转

和二维不同，三种中旋转是绕某个轴线进行的。本小节将介绍围绕主轴线（x，y，z\mathbf{x}，\mathbf{y}，\mathbf{z}）的旋转. 和缩放矩阵的推导类似，首先我们对三个基矢量进行变换,以围绕x\mathbf{x}轴旋转为例：

step1：对基矢量应用旋转变换：

x丶=x=[100]\mathbf{x^丶} = \mathbf{x} = \begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}

y丶=[0cos⁡θsin⁡θ]\mathbf{y^丶} = \begin{bmatrix}0\\\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}

z丶=[0−sin⁡θcos⁡θ]\mathbf{z^丶} = \begin{bmatrix}0\\-\sin\theta\\\cos\theta\end{bmatrix}

step2:组合基矢量形成旋转矩阵：

Rx(θ)=[1000cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ]\textbf{R}_x(\theta) = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos\theta&-\sin\theta\\0&\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}

同理可推导出沿y,z\mathbf{y},\mathbf{z}轴的旋转矩阵公式如下：

Ry(θ)=[cos⁡θ0sin⁡θ010−sin⁡θ0cos⁡θ]\textbf{R}_y(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta&0&\sin\theta\\0&1&0\\-\sin\theta&0&\cos\theta\end{bmatrix}

Rz(θ)=[cos⁡θ−sin⁡θ0sin⁡θcos⁡θ0001]\textbf{R}_z(\theta) = \begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta&0\\\sin\theta&\cos\theta&0\\0&0&1\end{bmatrix}

三维空间绕任意轴的旋转

1661866156316.jpg

让我们推导出一个围绕n^\hat{n}旋转θ\theta角度的矩阵R(n^,θ)\textbf{R}(\hat{n},\theta),使得当矩阵R(n^,θ)\textbf{R}(\hat{n},\theta)乘以矢量v\mathbf{v}得到的矢量v丶\mathbf{v^丶}是将v\mathbf{v}围绕n^\hat{n}旋转θ\theta角度的结果.

v丶=R(n^,θ)v\mathbf{v^丶} = \textbf{R}(\hat{n},\theta)\mathbf{v}

推导思路

  1. 为了得到矩阵R(n^,θ)\textbf{R}(\hat{n},\theta),需要用v,n^,θ\mathbf{v}, \hat{n}, \theta来表达v丶\mathbf{v^丶},基本思路是解决垂直于n^\hat{n}的平面中的问题,为此,将v\mathbf{v}分解为v∥和v⊥\mathbf{v_∥}和\mathbf{v_⊥}两个矢量,分别平行和垂直于单位矢量n^\hat{n}.通过单独旋转每个分量,剋将矢量作为一个整体旋转.即: v丶=v∥丶+v⊥丶\mathbf{v^丶} = \mathbf{v_∥^丶} + \mathbf{v_⊥^丶}.
  2. 由于v∥\mathbf{v_∥}与n^\hat{n}平行,因此它不受旋转影响.即: v∥丶=v∥\mathbf{v^丶_∥} = \mathbf{v_∥}
  3. 根据矢量的投影计算可得: v∥=(v.n^)n^\mathbf{v_∥} = (\mathbf{v}.\hat{n})\hat{n} v⊥=v−v∥\mathbf{v_⊥} = \mathbf{v} - \mathbf{v_∥}
  4. 利用矢量叉积构造w\mathbf{w}: w=n^×v⊥=n^×v\mathbf{w} = \hat{n}\times\mathbf{v_⊥} = \hat{n}\times\mathbf{v}
  5. 注意上图所示,矢量w和v⊥\mathbf{w}和\mathbf{v_⊥}构成了一个二维空间.v⊥\mathbf{v_⊥}作为x轴,w\mathbf{w}作为y轴.v⊥丶\mathbf{v^丶_⊥}是在这个平面上按角度θ\theta旋转v⊥\mathbf{v_⊥}的结果.

推导过程

v∥=(v.n^)n^\mathbf{v_∥} = (\mathbf{v}.\hat{n})\hat{n}

v⊥=v−v∥=v−(v.n^)n^\mathbf{v_⊥} = \mathbf{v} - \mathbf{v_∥} = \mathbf{v} - (\mathbf{v}.\hat{n})\hat{n}

w=n^×v⊥=n^×v\mathbf{w} = \hat{n}\times\mathbf{v_ ⊥} = \hat{n}\times\mathbf{v}

v⊥丶=cos⁡θv⊥+sin⁡θw=cos⁡θ(v−(v.n^)n^)+sin⁡θ(n^×v)\mathbf{v^丶_⊥} = \cos\theta\mathbf{v_⊥} + \sin\theta\mathbf{w} = \cos\theta(\mathbf{v} - (\mathbf{v}.\hat{n})\hat{n}) + \sin\theta(\hat{n}\times\mathbf{v})

v丶=v⊥丶+v∥=cos⁡θ(v−(v.n^)n^)+sin⁡θ(n^×v)+(v.n^)n^\mathbf{v^丶} = \mathbf{v^丶_⊥} + \mathbf{v_∥} = \cos\theta(\mathbf{v} - (\mathbf{v}.\hat{n})\hat{n}) + \sin\theta(\hat{n}\times\mathbf{v}) + (\mathbf{v}.\hat{n})\hat{n}

接下来,计算变换后的基矢量.简单的带入上式即可.

x丶=[nx2(1−cos⁡θ)+cos⁡θnxny(1−cos⁡θ)+nzsin⁡θnxnz(1−cos⁡θ)−nysin⁡θ]\mathbf{x^丶} = \begin{bmatrix}{n_x}^2(1-\cos\theta) + \cos\theta\\{n_x}{n_y}(1-\cos\theta)+{n_z}\sin\theta\\{n_x}{n_z}(1-\cos\theta)-{n_y}\sin\theta\end{bmatrix}

y丶=[nxny(1−cos⁡θ)−nzsin⁡θny2(1−cos⁡θ)+cos⁡θnynz(1−cos⁡θ)+nxsin⁡θ]\mathbf{y^丶} = \begin{bmatrix}{n_x}{n_y}(1-\cos\theta) - {n_z}\sin\theta\\{n_y}^2(1-\cos\theta)+\cos\theta\\{n_y}{n_z}(1-\cos\theta)+{n_x}\sin\theta\end{bmatrix}

z丶=[nxnz(1−cos⁡θ)+nysin⁡θnynz(1−cos⁡θ)−nxsin⁡θnz2(1−cos⁡θ)+cos⁡θ]\mathbf{z^丶} = \begin{bmatrix}{n_x}{n_z}(1-\cos\theta) + {n_y}\sin\theta\\{n_y}{n_z}(1-\cos\theta)-{n_x}\sin\theta\\{n_z}^2(1-\cos\theta)+\cos\theta\end{bmatrix}

通过变换后基矢量的简单组合,即可构造出旋转矩阵

R(n^,θ)=[∣∣∣x丶y丶z丶∣∣∣]=[nx2(1−cos⁡θ)+cos⁡θnxny(1−cos⁡θ)−nzsin⁡θnxnz(1−cos⁡θ)+nysin⁡θnxny(1−cos⁡θ)+nzsin⁡θny2(1−cos⁡θ)+cos⁡θnynz(1−cos⁡θ)−nxsin⁡θnxnz(1−cos⁡θ)−nysin⁡θnynz(1−cos⁡θ)+nxsin⁡θnz2(1−cos⁡θ)+cos⁡θ]\textbf{R}(\hat{n},\theta) = \begin{bmatrix}|&|&|\\\mathbf{x^丶}&\mathbf{y^丶}&\mathbf{z^丶}\\|&|&|\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{n_x}^2(1-\cos\theta) + \cos\theta&{n_x}{n_y}(1-\cos\theta) - {n_z}\sin\theta&{n_x}{n_z}(1-\cos\theta) + {n_y}\sin\theta\\{n_x}{n_y}(1-\cos\theta)+{n_z}\sin\theta&{n_y}^2(1-\cos\theta)+\cos\theta&{n_y}{n_z}(1-\cos\theta)-{n_x}\sin\theta\\{n_x}{n_z}(1-\cos\theta)-{n_y}\sin\theta&{n_y}{n_z}(1-\cos\theta)+{n_x}\sin\theta&{n_z}^2(1-\cos\theta)+\cos\theta\end{bmatrix}.

至此绕任意轴的三维旋转矩阵推导完毕.

引用

《3D数学基础》图形和游戏开发(第二版)

GAMES101 -现代计算机图形学入门-闫令琪

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