密度函数和期望值

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是一个测度空间，µ和ν是测度空间的两个测度，并且

其中，fν是一个ν的关于µ的正的可积密度函数，A是一个任意的集合。应用的概率论中，他有以下形式。

P(A)是A上概率，fp是概率P的密度函数。也叫概率密度函数。λ（x）是雷贝克测度，fp是概率P的密度函数。也叫概率密度函数。也就是说上面是是一个雷贝克积分，实际工作中，我们大部分计算要依靠黎曼积分。因此上式可把 变成dx。

期望值

随机变量是事件的函数，也可以说是事件的实现。一个随机变量在离散情况下能够实现可数个事件，从而产生可数个随机结果。比如我们扔色子（这是个事件），可能有六个结果，也就是与此对应的随机变量可以产生六个结果。它们分别是1，2，3，4，5，6。代入上面等式得：

上面这个例子随机变量每次的实现概率为1/6。 因为色子的每一面出现的概率是均等的，且他们的和又要等于1。

上面谈的概率是理论值，实际操作中往往难以实现。根据大数定理，只要我们足够多的重复，每个面出现的概率都会无限趋进于理论值。

算数平均值是一个十分随机的结果，比如扔色子，分两轮扔，每轮扔十次，比较两轮平均值，会发现差别。这一特点在期望值那里是没有的，只要随机变量不变，事件不变，那么期望值就恒定不变。人们在实践中发现，算数平均值随着实验次数的增加而趋紧于理论值。但却不一定会达到理论值。这正是期望值这个名字的由来。