本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

对弧长的曲线积分

一、对弧长的曲线积分的定义

设$L$为$xOy$面内的一条光滑曲线弧，函数$f(x,y)$在$L$上有界，在$L$上任意插入一点列$M_1,M_2,\cdots,M_n-1$，把$L$分成$n$个小段，设第$i$个小段的长度为$\Delta s_i$，又$(\xi_i,\eta_i)$为第$i$个小段上任意取定的一点，作乘积$f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i\quad(i=1,2,\cdots,n)$，并作和$\sum^n_{i=1}f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$，如果当各校弧段的长度的最大值$\lambda\to0$时，这和的极限总存在，且与曲线弧$L$的分发及点$(\xi_i,\eta_i)$的取法无关，那么称此极限为函数$f(x,y)$在曲线弧$L$上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作$\int_Lf(x,y)ds$，即$\int_Lf(x,y)ds=\lim_{\lambda\to1}\sum^n_{i=1}f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$，其中$f(x,y)$叫做被积函数，$L$叫做积分弧段

 

二、对弧长的曲线积分的几何意义

曲线弧的质量

 

三、对弧长的曲线积分的性质

性质1（线性）：若$\alpha,\beta$为常数，则$\int_L[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]ds=\alpha\int_Lf(x,y)ds+\beta\int_Lg(x,y)ds$

性质2（曲线可加）：若积分弧段$L$可分为两段光滑曲线弧$L_1$和$L_2$，则$\int_Lf(x,y)ds=\int_{L_1}f(x,y)ds+\int_{L_2}f(x,y)ds$

性质3：设在$L$上$f(x,y)\leq g(x,y)$，则$\int_Lf(x,y)ds\leq\int_Lg(x,y)ds$。特别地，有$|\int_Lf(x,y)ds|\leq\int_L|f(x,y)|ds$

 

四、对弧长的曲线积分的计算方法

1. 参数方程

$L:\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases},\alpha\leq t\leq \beta$

则$\int_Lf(x,y)ds=\int^\beta_\alpha f(x(t),y(t))\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)}dt$

 

推导

$d^2x+d^2y=d^2s$

$ds=\sqrt{d^2x+d^2y}=\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}dx$

2. 直角坐标

$L:y=y(x),a\leq x\leq b$

则$\int_Lf(x,y)ds=\int^b_af(x,y(x))\sqrt{1+y'^2(x)}dx$

 

推导

$d^2x+d^2y=d^2s$

$ds=\sqrt{d^2x+d^2y}=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$

3. 极坐标

$L:r=r(\theta),\alpha\leq\theta\leq\beta$

则$\int_Lf(x,y)ds=\int^\beta_\alpha f(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta)\sqrt{r^2(\theta)+r'^2(\theta)}d\theta$

 

推导

$d^2x+d^2y=d^2s$

$\begin{cases}x=r\cos\theta\\y=r\sin\theta\end{cases}$

$ds=\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2}dt=\sqrt{[(r\cos\theta)']^2+[(r\sin\theta)']^2}d\theta$

 

例1：计算$\int_Le^{\sqrt{x^2+y^2}}ds$其中$L$为圆周$x^2+y^2=a^2$，直线$y=x$及$x$轴在第一象限内所围成的扇形整个边界

ax=plt.gca()

ax.spines['right'].set_color('none')

ax.spines['top'].set_color('none')

ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))

ax.spines['left'].set_position(('data',0))

ax.set_aspect(1)

X=np.linspace(-1,1,50)

a=1

f1=lambda x:(a**2-x**2)**0.5

f2=lambda x:(a**2-x**2)**0.5

f3=lambda x:x

f4=lambda x:0

s1=pd.Series(f1(X),index=X)

s2=pd.Series(f2(X),index=X)

s3=pd.Series(f3(X),index=X)

s4=pd.Series(f4(X),index=X)

s1.plot()

s2.plot()

s3.plot(color='orange')

s4.plot(color='red')

plt.xlim(0,1)

plt.ylim(0,1)

plt.xticks([1])

plt.yticks([0,1])

ax.set_xticklabels(['a'])

ax.set_yticklabels([0,'a'])

ax.annotate('A',(1,0))

ax.annotate('B',(2**0.5/2,2**0.5/2))

 

$L_{OA}:y=0\quad(0\leq x\leq a)$

$L_{OB}:y=x\quad(0\leq x\leq \frac{\sqrt2}2a)$

$L_{AB}:\begin{cases}x=a\cos t\\y=a\sin t\end{cases}\quad(0\leq t\leq \frac\pi4)$

$\int_{L_{OA}}=\int^a_0e^x\sqrt{1+0^2}dx$

$\int_{L_{OB}}=\int^{\frac{\sqrt2}2a}_0e^{\sqrt2x}\sqrt{1+1^2}dx$

$\int_{L_{AB}}=\int^{\frac\pi4}_0e^a\sqrt{(a\cos t)'^2+(a\sin t)'^2}dt=\int^{\frac\pi4}_0e^aadt$

$\int_L=e^a(2+\frac\pi4a)-2$

 

例2：计算曲线积分$\int_\Gamma(x^2+y^2+z^2)ds$，其中$\Gamma$为螺旋线$x=a\cos t,y=a\sin t,z=kt$上相应于$t$从$0$到$2\pi$上的一段弧

plt.rcParams['figure.figsize']=(8,8)

ax=plt.gca(projection="3d")

T=np.linspace(-10,10,200)

a=1

k=2

X=lambda t:a*np.cos(t)

Y=lambda t:a*np.sin(t)

Z=lambda t:k*t

ax.plot(X(T),Y(T),Z(T))

 

（这里画图没啥用，消磨一下垃圾时间）

$\begin{aligned}\int_\Gamma(x^2+y^2+z^2)ds&=\int^{2\pi}_0[(a\cos t)^2+(a\sin t)^2+(kt)^2]\cdot\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+k^2}dt\\&=\sqrt{a^2+k^2}(a^2t+\frac{k^2}3t^3)\Big|^{2\pi}_0\\&=\frac23\pi\sqrt{a^2+k^2}(3a^2+4pi^2k^2)\end{aligned}$

 

对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的定义

设$L$为$xOy$面内从点$A$到点$B$的一条有向光滑曲线弧，函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$在$L$上有界，在$L$上沿$L$的方向任意插入一点$M_1(x_1,y_1),M_2(x_2,y_2),\cdots,M_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})$，把$L$分成$n$个有向小弧段$M_{i-1}M_i\quad(i=1,2,\cdots,n;M_0=A,M_n=B)$，设$\Delta x_i=x_i-x_{i-1},\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$，点$(\xi_i,\eta_i)$为$M_{i-1}M_i$上任意取定的点，作乘积$P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i\quad(i=1,2,\cdots,n)$，并作和$\sum_{i=1}^nP(\xi_i,\eta_i)\Delta_i$，如果当各校弧段程度的最大值$\lambda\to0$时，这和的极限总存在，且与曲线弧$L$的分发及点$(\xi_i,\eta_i)$的取法无关，那么称此极限为函数$P(x,y)$在有向线弧$L$上对坐标$x$的曲线积分，记作$\int_LP(x,y)dx$；类似地，如果$\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=1}Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i$总存在，且与曲线弧$L$的分发及点$(\xi_i,\eta_i)$的取法无关，那么称此极限为函数$Q(x,y)$在有向线弧$L$上对坐标$y$的曲线积分，记作$\int_LQ(x,y)dy$，即$\int_LP(x,y)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=1}P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i,\int_LQ(x,y)dy=\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=1}Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i$，其中$P(x,y),Q(x,y)$叫做被积函数，$L$叫做积分弧，以上两个积分叫做对坐标的曲线积分，也叫作第二类曲线积分

 

二、对坐标的曲线积分的几何意义

变力沿曲线所作的功

 

三、对坐标的曲线积分的性质

性质1（线性）：设$\alpha$与$\beta$为常数，则$\int_L\alpha[P_1(x,y)dx+Q_1(x,y)dy]+\beta[P_2(x,y)dx+Q_2(x,y)dy]=\alpha\int_LP_1(x,y)dx+Q_1(x,y)dy+\beta\int_LP_2(x,y)dx+Q_2(x,y)dy$

性质2（曲线可加）：若有向曲线弧$L$可分为两段光滑的有向曲线弧$L_1$和$L_2$，则$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_{L_1}P(x,y)dx+Q(x,y)dy+\int_{L_2}P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

性质3（方向性）：设$L$是有向光滑曲线弧，$L^-$是$L$的反向曲线弧，则$\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=-\int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy$

 

做计算时一定要注意方向性，是从哪一点到哪一点，决定积分的上下限

 

例1：计算$\int_L2xydx+x^2dy$，其中$L$为抛物线$y=x^2$上从点$O(0,0)$到点$B(1,1)$的一段弧

$\begin{aligned}\int_L2xydx+x^2dy&=\int^1_02x\cdot(x^2)dx+x^2\cdot y'(x)dx\\&\text{此处把}y\text{看做因变量，}x\text{看做自变量，因此有}dy=y'(x)dx\\&=\int^1_0(2x^3+2x^3)dx\\&=1\end{aligned}$

如果题目中出现$y^2=x$，可以把$x$看做因变量，$y$看做自变量，有$dx=x'(y)dy$

 

例2：计算$\int_Ly^2dx$，其中$L$的半径为$a$，圆心在原点，从$A(a,0)$到$B(-a,0)$的按逆时针方向绕行的上半圆周

令$\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=a\sin\theta\end{cases}\quad\theta:0\to\pi$

$\begin{aligned}\int_Ly^2dx&=\int^\pi_0(a\sin\theta)^2(-a\sin\theta)d\theta\\&=-a^3\int^\pi_0\sin^3\theta d\theta\\&=-2a^3\int^\frac\pi2_0\sin^3\theta d\theta\\&=-2a^3\frac23\\&=-\frac43a^3\end{aligned}$

可以换成极坐标做，极坐标的$\rho$没有方向

 

例3：计算$\int_L2xydx+x^2dy$，其中$L$为有向折线$OAB$，这里$O,A,B$分别为$(0,0),(1,0),(1,1)$

$OA:y=0,x:0\to1$

$AB:x=1,y:0\to1$

$\begin{aligned}\int_L2xydx+x^2dy&=\int_{L_{OA}}2xydx+x^2dy+\int_{L_{AB}}2xydx+x^2dy\\&=0+\int^1_01^2dy\\&=1\end{aligned}$

对于$OA$，因为$y=0$，因此$2xydx=0$、$dy=0$，即$x^2dy=0$，因此$\int_{L_{OA}}2xydx+x^2dy=0$

对于$AB$，因为$x=1$，因此$dx=0$，即$2xydx=0$，因此$\int_{L_{AB}}2xydx+x^2dy=\int^1_01^2dy$

 

格林公式及其应用

一、格林公式

1. 定义

设闭区域$D$由分段光滑的曲线$L$围成，若函数$P(x,y)$及$Q(x,y)$在$D$上具有一阶连续偏导数，则有$\int_LPdx+Qdy=\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$，其中$L$是$D$的取正向的边界曲线，即为格林公式

 

证明：

先证$-\int\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\oint_LPdx$

假定区域$D$的形状如下（用平行于$y$轴的直线穿过区域，与区域边界曲线的交点至多两点）

易见，图二所表示区域是图一所表示区域的一种特殊情况，仅对图一所表示区域$D$给予证明

$D:\begin{cases}a\leq x\leq b\\\phi_1(x)\leq y\leq\phi_2(x)\end{cases}$

$\begin{aligned}-\int\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy&=-\int^b_adx\int^{\phi_2(x)}_{\phi_1(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dy\\&=-\int^b_a[P(x,y)]^{\phi_2(x)}_{\phi_1(x)}dx\\&=-\int^b_a{P[x,\phi_2(x)]-P[x,\phi_1(x)]}dx\end{aligned}$

$\begin{aligned}\int_LPdx&=\int_{\widehat{AB}}Pdx+\int_{\overline{BC}}Pdx+\int_{\widehat{CE}}Pdx++\int_{\overline{EA}}Pdx\\&=\int^b_aP[x,\phi_1()]dx+0+\int^a_bP[x,\phi_2(x)]+0\end{aligned}$

因此$-\int\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\oint_LPdx$

同理$-\int\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy=\oint_LQdy$

两式合并后即得格林公式$\int_LPdx+Qdy=\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

 

单连通区域：设$D$为平面区域，如果$D$内任一闭曲线所围的部分区域都属于$D$，则$D$称为平面单连通区域。直观地说，单连通区域是没有空间的区域，否则称为复连通区域。

 

曲线关于区域的正方向：当$xOy$平面上的曲线起点与终点重合时，则称曲线为闭曲线。设平面的闭曲线$L$围成平面区域$D$，并规定当一个人沿闭曲线$L$环行时，区域$D$总是位于此人的左侧，称此人行走方向为曲线$L$关于区域$D$的正方向，反之为负方向。

 

复连通区域下格林公式$\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L(Pdx+Qdy)-\oint_l(Pdx+Qdy)$ 切割成两个单连通区域，然后对两个单连通区域分别使用格林公式。 $\begin{aligned}\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy&=\iint\limits_{D_1}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy+\iint\limits_{D-2}(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy\\&=\oint_{C_1+C_2}Pdx+Qdy\end{aligned}$ 因为红色部分抵消。加入只剩下内部的顺时针线$l$和外部的逆时针线$L$。 证毕 作者：oneslide 链接：blog.csdn.net/qq_33745102… 部分有修改

 

例1：计算曲线积分$\oint_L(x^2+y)dx-(x+\sin^2y)dy$，其中$L$是在圆周$y=\sqrt{2x-x^2}$上由点$(0,0)$到点$(1,1)$的一段弧

ax=plt.gca()

ax.spines['right'].set_color('none')

ax.spines['top'].set_color('none')

ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))

ax.spines['left'].set_position(('data',0))

ax.set_aspect(1)

X=np.linspace(0,2,50)

f=lambda x:(2*x-x**2)**0.5

s1=pd.Series(f(X),index=X)

s1.plot()

 

（高中知识告诉我这是个半圆）

设$L_1:x=1,y:1\to0;L_2:y=0,x:1\to0$

$\int_L=\int_{L+L_1+L_2}-\int_{L_1}-\int_{L_2}$

$\int_{L+L_1+L_2}=-\iint\limits_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma=0$

$\int_{L_1}=\int^0_1[-(1+\sin^2y)]dy=\frac32-\frac14\sin2$

$\int_{L_2}=\int^0_1x^2dx=-\frac13$

$\int_L=0-(\frac32-\frac14\sin2)-(-\frac13)=-\frac76+\frac14\sin2$

 

二、平面上曲线积分与路径无关

1. 定义

设$G$是一个区域，$P(x,y)$以及$Q(x,y)$在区域$G$内具有一阶连续偏导数，如果对于$G$内任意指定的两个点$A,B$以及$G$内从点$A$到点$B$的任意两条曲线$L_1,L_2$，等式$\int_{L_1}Pdx+Qdy=\int_{L_2}Pdx+Qdy$恒成立，就说曲线积分$\int_LPdx+Qdy$在$G$内与路径无关，否则便说与路径有关

 

2. 充要条件

设区域$G$是一个单连通域，若函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$在$G$内有一阶连续偏导数，则曲线积分$\int_LPdx+Qdy$在$G$内与路径无关（或沿$G$内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$在$G$内恒成立

 

例1：计算曲线积分$\oint_L(x^2+y)dx-(x+\sin^2y)dy$，其中$L$是在圆周$y=\sqrt{2x-x^2}$上由点$(0,0)$到点$(1,1)$的一段弧

$P=x^2-y$

$Q=-(x+\sin^2y)$

$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=-1$

故$\int_L$与路径无关

$L_1:y=0,x:0\to1;L_2:x=1,y:0\to1$

$\int_L=\int_{L_1}+\int_{L_2}$

$\int_{L_1}=\int^1_0x^2dx=\frac13$

$\int_{L_2}=\int^1_0-(1+\sin^2y)dy=-\frac32+\frac14\sin2$

$\therefore\int_L=\int_{L_1}+\int_{L_2}=-\frac76+\frac14\sin2$

 

三、二元函数的全微分求积

定理1

设区域$G$是一个单连通域，若函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$在$G$内具有一阶连续偏导数，则$P(x,y)dx+Q(x,y)dy$在$G$内为某一函数$u(x,y)$的全微分的充分必要条件是$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$在$G$内恒成立

 

推论：设区域$G$是一个单连通域，若函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$在$G$内具有一阶连续偏导数，则曲线积分$\int_LPdx+Qdy$在$G$内与路径无关的充分必要条件是（等价于$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$在$G$内恒成立），在$G$内存在函数$u(x,y)$，使$du=Pdx+Qdy$

 

全微分方程的定义

一个微分方程写成$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$的形式后，如果等式的左端恰好是某一个函数$u(x,y)$的全微分（此处是不是某一个函数$u(x,y)$的全微分看上面的定理1），即$du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$，那么就把$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$叫做全微分方程，且$u(x,y)=\int^{(x,y)}_{(x_0,y_0)}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=C$为全微分方程的隐式通解，其中C为任意常数

 

例2：求解方程$(5x^4+3xy^2-y^3)dx+(3x^2y-3xy^2+y^2)dy=0$

设$A(x,0),B(x,y)$

$\begin{aligned}u(x,y)&=\int^{(x,y)}_{(0,0)}(5x^4+3xy^2-y^3)dx+(3x^2y-3xy^2+y^2)dy\\&(0,0)\text{只是取得为了方便计算，取其他点也可以}\\&\text{注意此处积分上的}x,y\text{和被积函数中的}x,y\text{不是一个}x,y\\&\text{可以写为}\int^{(x,y)}_{(0,0)}(5s^4+3st^2-t^3)ds+(3s^2t-3st^2+t^2)dt\\&=\int_{OA}+\int_{AB}\\&=\int^x_05x^4dx+\int^y_0(3x^2y-3xy^2+y^2)dy\\&=x^5+\frac32x^2y^2-xy^3+\frac13y^3=C\end{aligned}$

故通解为$x^5+\frac32x^2y^2-xy^3+\frac13y^3=C$

对面积的曲面积分

一、对面积的曲面积分的定义

设曲面$\sum$是光滑的，函数$f(x,y,z)$在$\sum$上有界，把$\sum$任意分成n小块$\Delta  S_i$（$\Delta S_i$同时代表第$i$小块曲面的面积），设$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$是$\Delta S_i$上任意取定的一点，做乘积$f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i\quad(i=1,2,3,\cdots,n)$，并作和$\sum^n_{i=1}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$，如果当各小块曲面的直径的最大值$\lambda\to0$时，这和的极限总存在，且与曲面$\sum$的分发及点$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$的取法无关，那么称此极限为函数$f(x,y,z)$在曲面$\sum$上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作$\iint\limits_{\sum} f(x,y,z)dS$，即$\iint\limits_{\sum} f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=1}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$，其中$f(x,y,z)$叫做被积函数，$\sum$叫做积分曲面

 

二、对面积的曲面积分的几何意义

密度不均匀的曲面的质量

 

三、对面积的曲面积分的性质

性质1（线性）：若$\alpha,\beta$为常数，则$\iint\limits_{\sum}[\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z)]dS=\alpha\iint\limits_{\sum} f(x,y,z)dS+\beta\iint\limits_{\sum} g(x,y,z)dS$

 

性质2（曲面可加）：若积分曲面$\sum$可分为两个光滑的曲面$\sum_1,\sum_2$，则$\iint\limits_{\sum} f(x,y,z)dS=\iint\limits_{\sum_1}f(x,y,z)dS+\iint\limits_{\sum_2}f(x,y,z)dS$

 

性质3（比较定理）：设在$\sum$上$f(x,y,z)\leq g(x,y,z)$，则$\iint\limits_{\sum} f(x,y,z)dS\leq\iint\limits_{\sum} g(x,y,z)dS$，特别的，有$\Big|\iint\limits_{\sum} f(x,y,z)dS\Big|\leq\iint\limits_{\sum}|f(x,y,z)|dS$

 

四、对面积的曲面积分的计算方法

• 设$\sum:z=z(x,y),(x,y)\in D$

      则$\iint\limits_{\sum} f(x,y,z)dS=\iint\limits_D f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^{'2}+z_y^{'2}}d\sigma$

• 设$\sum:y=y(x,z),(x,z)\in D$

      则$\iint\limits_{\sum} f(x,y,z)dS=\iint\limits_D f(x,y(x,z),z)\sqrt{1+y_x^{'2}+y_z^{'2}}d\sigma$

• 设$\sum:x=x(y,z),(y,z)\in D$

      则$\iint\limits_{\sum} f(x,y,z)dS=\iint\limits_D f(x(y,z),y,z)\sqrt{1+x_y^{'2}+x_z^{'2}}d\sigma$

 

例1：计算$\iint\limits_{\sum} xyzdS$，其中$\sum$是由平面$x=0,y=0,z=0$及$x+y+z=1$所围成的四面体的整个边界曲面

设四面体在$xOy$上的面$\sum_2:z=0$，在$xOz$上的面$\sum_1:y=0$，在$yOz$上的面$\sum_3:x=0$，剩下的一个面设在$xOy$的投影为$\sum_4$

$\begin{aligned}\iint\limits_{\sum}&=\iint\limits_{\sum_1}+\iint\limits_{\sum_2}+\iint\limits_{\sum_3}+\iint\limits_{\sum_4}\\&=0+0+0+\iint\limits_{\sum_4}xyzdS\\&=\iint\limits_{D_{xy}}xy(1-x-y)\sqrt{1+z_x^{'2}+z_y^{'2}}dxdy\\&=\sqrt3\int^1_0dx\int^{1-x}_0xy(1-x-y)dy\\&=\frac{\sqrt3}{120}\end{aligned}$

 

对坐标的曲面积分

一、对坐标的曲面积分的定义

设$\sum$为光滑的有向曲面，函数$R(x,y,z)$在$\sum$上有界，把$\sum$任意分成$n$块小曲面$\Delta S_i$（$\Delta S_i$同时又表示第i块小曲面的面积），$\Delta S_i$在$xOy$面上的投影为$(\Delta S_i)_{xy}$，$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$是$\Delta S_i$上任意取定的一点，作乘积$R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)\quad(i=1,2,3,\cdots,n)$，并作和$\sum^n_{i=1}R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}$，如果当各小块曲面的直径的最大值$\lambda\to0$时，这和的极限总存在，且与曲面$\sum$的分发及点$(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$的取法，无关，那么称此极限为函数$R(x,y,z)$在有向曲面$\sum$对坐标$x,y$的曲面积分，记作$\iint\limits_{\sum} R(x,y,z)dxdy$，即$\iint\limits_{\sum} R(x,y,z)dxdy=\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=1}(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}$，其中R$(x,y,z)叫$做被积函数，$\sum$叫做积分曲面

类似地可以定义函数$P(x,y,z)$在有向曲面$\sum$上对坐标$y,z$的曲面积分$\iint\limits_{\sum} P(x,y,z)dydz$，即为$\iint\limits_{\sum} P(x,y,z)dydz=\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=1}P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy}$；

定义函数$P(x,y,z)$在有向曲面$\sum$上对坐标$z,x$的曲面积分$\iint\limits_{\sum} P(x,y,z)dzdx$，即为$\iint\limits_{\sum} P(x,y,z)dzdx=\lim_{\lambda\to0}\sum^n_{i=1}P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{zx}$

 

二、对坐标的曲面积分的几何意义

流向曲面一侧的流量

 

三、对坐标的曲面积分的性质

性质1（线性）：设$\alpha$与$\beta$为常数，则$\iint\limits_{\sum}[\alpha(P_1dydz+Q_1dzdx+P_1dxdy)+\beta(P_2dydz+Q_2dzdx+P_2dxdy)]=\alpha\iint\limits_{\sum} P_1dydz+Q_1dzdx+P_1dxdy+\beta\iint\limits_{\sum} P_2dydz+Q_2dzdx+P_2dxdy$

 

性质2（曲面可加）：若有向曲面$\sum$可分为两段光滑的有向曲面$\sum_1$和$\sum_2$，则$\iint\limits_{\sum} Pdydz+Qdzdx+Pdxdy=\iint\limits_{\sum_1} Pdydz+Qdzdx+Pdxdy+\iint\limits_{\sum_2} Pdydz+Qdzdx+Pdxdy$

 

性质3（方向性）：设$\sum$是有向曲面，$\sum^-$表示$\sum$取反侧的有向曲面，则$\iint\limits_{\sum^-}P(x,y,z)dydz=-\iint\limits_{\sum}P(x,y,z)dydz$

$\iint\limits_{\sum^-}P(x,y,z)dzdx=-\iint\limits_{\sum}P(x,y,z)dzdx$

$\iint\limits_{\sum^-}P(x,y,z)dxdy=-\iint\limits_{\sum}P(x,y,z)dxdy$

 

四、对坐标的曲面积分的计算方法

设$\sum:z=z(x,y),(x,y)\in D$，则$\iint\limits_{\sum} R(x,y,z)dxdy=\pm\iint\limits_DR[x,y,z(x,y)]dxdy$

设$\sum:y=y(z,x),(z,x)\in D$，则$\iint\limits_{\sum} R(x,y,z)dzdx=\pm\iint\limits_DR[x,y(z,x),z]dzdx$

设$\sum:x=x(y,z),(y,z)\in D$，则$\iint\limits_{\sum} R(x,y,z)dydz=\pm\iint\limits_DR[x(y,z),y,z]dydz$

正负号由面的法向量与对应轴正方向的夹角决定，锐角取正，钝角取负

 

例1：计算曲面积分$\iint\limits_{\sum} xyzdxdy$，其中$\sum$是球面$x^2+y^2+z^2=1$外侧，在$x\geq0,y\geq0$的部分

$\sum_1:z=-\sqrt{1-x^2-y^2}$

$\sum_2:z=\sqrt{1-x^2-y^2}$

$\begin{aligned}\iint\limits_{\sum}&=\iint\limits_{\sum_1}+\iint\limits_{\sum_2}\\&=-\iint\limits_{D_{xy}}xy[-\sqrt{1-x^2-y^2}]dxdy+\iint\limits_{D_{xy}}xy\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy\\&=2\iint\limits_{D_{xy}}xy\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy\\&=2\int^\frac\pi2_0d\theta\int^1_0r^2\sin\theta\cos\theta\sqrt{1-r^2}\cdot rdr\\&=\frac2{15}\end{aligned}$

 

高斯公式与散度、旋度

一、高斯公式的定义

设空间闭区域$\Omega$是由分片光滑的比曲面$\sum$所围成，若函数$P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)$在$\Omega$上具有一阶连续偏导数，则有$\iint\limits_{\sum} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$，或$\iint\limits_{\sum}(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS=\iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$

（$\cos\alpha dS=dydz,\cos\beta dS=dzdx,\cos\gamma dS=dxdy$）

对于$\iiint\limits_\Omega(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$也有正负号，取面外侧为正，内侧为负

 

例1：利用高斯公式计算曲面积分$\iint\limits_{\sum}(x-y)dxdy+(y-z)xdydz$，其中$\sum$为柱面$x^2+y^2=1$及平面$z=0,z=3$所围成的空间闭区域$\Omega$的整个边界曲面的外侧

$\begin{aligned}\iint\limits_{\sum}(x-y)dxdy+(y-z)xdydz&=+\iiint\limits_\Omega[(y-z)+0+0]d\theta\\&=\int^{2\pi}_0d\theta\int^1_0rdr\int^3_0(r\sin\theta-z)dz\\&=-\frac92\pi\end{aligned}$

 

二、散度的定义

设有向量场$\boldsymbol A(x,y,z)={P,Q,R}$，其中$P$、$Q$、$R$均具有一阶连续偏导数，则$div\boldsymbol A=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$

 

例2：求向量场$\boldsymbol A=y^2\boldsymbol i+xy\boldsymbol j+xz\boldsymbol k$的散度

$P=y^2,Q=xy,R=xz$

$div\boldsymbol A=0+x+x=2x$

 

三、旋度的定义

设有向量场$\boldsymbol A(x,y,z)={P,Q,R}$，其中$P$、$Q$、$R$均具有一阶连续偏导数，则$\boldsymbol {rotA}=\left|\begin{matrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\\frac\partial{\partial x}&\frac\partial{\partial y}&\frac\partial{\partial z}\\P&Q&R\end{matrix}\right|$

 

例3：求向量场$\boldsymbol A=(z+\sin y)\boldsymbol i-(z-x\cos y)\boldsymbol j$

$\begin{aligned}\boldsymbol {rotA}&=\left|\begin{matrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\\frac\partial{\partial x}&\frac\partial{\partial y}&\frac\partial{\partial z}\\(z+\sin y)&-(z-x\cos y)&0\end{matrix}\right|\\&=(-1)^{1+1}\boldsymbol i(0+1)+(-1)^{1+2}\boldsymbol j(0-1)+(-1)^{1+3}\boldsymbol k(\cos y-\cos y)\\&=\boldsymbol i+\boldsymbol j\end{aligned}$