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假设M是一个m*n且秩为r的复矩阵那么它的奇异值分解为：
其中U（UHU=I(UH是U的共轭转置矩阵)）是mm酉矩阵，V是n*n酉矩阵V的共轭转置矩阵，∑为实数矩阵带有下列外形：
其中。我们称之为M矩阵的奇异值，这些奇异值更进一步说矩阵∑都是通过M矩阵唯一确定的。但是U和V无法唯一确定，它们可以变动。
U的列矢量叫做左奇异值矢量，V的列矢量
叫做右奇异值矢量。
特性：
每一个矩阵至少拥有一个奇异值分解。对于一个实数矩阵M，我们可以选择实数型的U和V矩阵作为分解矩阵。
由于
把上面的式子作用到V的j列得：
这就意味着Vj是MM的特征矢量，M的奇异值的平方是MM的大于0的特征值。
对于一个酉矩阵，其行列式模长等于1.即：
如果M是一个n*n的方阵且det（M）不为0，那么：
M作用到V的列：
M*作用到Ui:
作用到右奇异矢量的M或者作用到左奇异矢量的M会分别得到左奇异矢量长度变化或者右奇异矢量长度变化的结果。***
