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观光奶牛

$给定一张 L 个点、P 条边的有向图，$

$每个点都有一个权值 f[i]，每条边都有一个权值 t[i]。$

$求图中的一个环，使“环上各点的权值之和”除以“环上各边的权值之和”最大。$

$输出这个最大值。$

$注意：数据保证至少存在一个环。$

输入格式

第一行包含两个整数 L 和 P。

接下来 L 行每行一个整数，表示 f[i]。

再接下来 P 行，每行三个整数 a，b，t[i]，表示点 a 和 b 之间存在一条边，边的权值为 t[i]。

输出格式

输出一个数表示结果，保留两位小数。

数据范围

• 2 ≤ L ≤ 1000
• 2 ≤ P ≤ 5000
• 1 ≤ f[i], t[i] ≤ 1000

思路

spfa + 二分 + 01分数规划

设 $ans$ 为 最大值

求:

等价于:

则:

二分ans 判负环是否存在

如果 存在，那么证明原式成立 范围缩小到 $[ans, r]$

如果 不存在， 那么证明原式不对 范围缩小到 $[l, ans]$

最坏情况存在长度为 $L$ 的环， $\sum t_i= L,\sum f_i=1000$。 答案最大可能是 1000

代码

#include <bits/stdc++.h>
const int N = 1111, M = 1e4 + 111;
using namespace std;
int n, m, idx, h[N], v[N], cnt[N];
double f[N], d[N];
struct E {
    int v, n, w;
} g[M];
void add (int a, int b, int c) {
    g[idx].v = b; g[idx].n = h[a];
    g[idx].w = c; h[a] = idx ++;
}
bool spfa (double val) {
    queue<int> que;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i)
        que.push(i), v[i] = 1, d[i] = cnt[i] = 0;
    while (que.size()) {
        auto t = que.front();
        que.pop();
        v[t] = 0;
        for (int i = h[t]; i; i = g[i].n) {
            int j = g[i].v;
            double w = g[i].w * val - f[t] + d[t];
            if (d[j] > w) {
                d[j] = w;
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n) return true;
                if (!v[j]) que.push(j), v[j] = 1;
            }
        }
    }
    return false;
}
int main() {
    idx = 1;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> f[i];
    for (int i = 1; i <= m; ++ i) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        add (a, b, c);
    }
    double l = 1, r = 1000;
    for (int i = 1; i <= 50; ++ i) {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (spfa(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }
    printf ("%.2lf\n", l);
    
    return 0;
}