动态规划（五）

砍怪

给定3个参数，N，M，K

怪兽有N滴血，等着英雄来砍自己

英雄每一次打击，都会让怪兽流失[0~M]的血量

到底流失多少？每一次在[0~M]上等概率的获得一个值

求K次打击之后，英雄把怪兽砍死的概率

public static double right(int N, int M, int K) {
    if (N < 1 || M < 1 || K < 1) {
        return 0;
    }
    long all = (long) Math.pow(M + 1, K);
    long kill = process(K, M, N);
    return (double) ((double) kill / (double) all);
}

// 怪兽还剩hp点血
// 每次的伤害在[0~M]范围上
// 还有times次可以砍
// 返回砍死的情况数！
public static long process(int times, int M, int hp) {
    if (times == 0) { // 砍完了,并且怪兽hp不足0,说明找到了一种砍法
        return hp <= 0 ? 1 : 0;
    }
    if (hp <= 0) { // 越界位置也要算
        return (long) Math.pow(M + 1, times);
    }
    long ways = 0;
    for (int i = 0; i <= M; i++) {
        ways += process(times - 1, M, hp - i);
    }
    return ways;
}

// 斜率优化,画图即可
public static double dp2(int N, int M, int K) {
    if (N < 1 || M < 1 || K < 1) {
        return 0;
    }
    long all = (long) Math.pow(M + 1, K);
    long[][] dp = new long[K + 1][N + 1];
    dp[0][0] = 1;
    for (int times = 1; times <= K; times++) {
        dp[times][0] = (long) Math.pow(M + 1, times); // 对应 hp <= 0 时的计算
        for (int hp = 1; hp <= N; hp++) {
            dp[times][hp] = dp[times][hp - 1] + dp[times - 1][hp];
            if (hp - 1 - M >= 0) {
                dp[times][hp] -= dp[times - 1][hp - 1 - M];
            } else {
                // 依赖的是越界位置,这个越界位置的值可以根据公式,直接算出来
                dp[times][hp] -= Math.pow(M + 1, times - 1);
            }
        }
    }
    long kill = dp[K][N];
    return (double) ((double) kill / (double) all);
}

凑钱4

arr是面值数组，其中的值都是正数且没有重复。再给定一个正数aim。

每个值都认为是一种面值，且认为张数是无限的。

返回组成aim的最少货币数

public static int minCoins(int[] arr, int aim) {
    return process(arr, 0, aim);
}

// arr[index...]面值，每种面值张数自由选择，
// 搞出rest正好这么多钱，返回最小张数
// 拿Integer.MAX_VALUE标记怎么都搞定不了
public static int process(int[] arr, int index, int rest) {
    if (index == arr.length) {
        return rest == 0 ? 0 : Integer.MAX_VALUE;
    } else {
        int ans = Integer.MAX_VALUE;
        for (int zhang = 0; zhang * arr[index] <= rest; zhang++) {
            int next = process(arr, index + 1, rest - zhang * arr[index]);
            if (next != Integer.MAX_VALUE) { // 只有选了当前张数的货币后，下面有可能拼出aim，答案才有效，不然越界
                ans = Math.min(ans, zhang + next);
            }
        }
        return ans;
    }
}

public static int dp2(int[] arr, int aim) {
    if (aim == 0) {
        return 0;
    }
    int N = arr.length;
    int[][] dp = new int[N + 1][aim + 1];
    dp[N][0] = 0;
    for (int j = 1; j <= aim; j++) {
        dp[N][j] = Integer.MAX_VALUE;
    }
    for (int index = N - 1; index >= 0; index--) {
        for (int rest = 0; rest <= aim; rest++) {
            dp[index][rest] = dp[index + 1][rest];
            if (rest - arr[index] >= 0
                    && dp[index][rest - arr[index]] != Integer.MAX_VALUE) { // 不加这句，就越界了，dp[index][rest - arr[index]] + 1 变成负数
                dp[index][rest] = Math.min(dp[index][rest], dp[index][rest - arr[index]] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[0][aim];
}

拆数

给定一个正数n，求n的裂开方法数，

规定：后面的数不能比前面的数小

比如4的裂开方法有：

1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2、4

5种，所以返回5

// n为正数
public static int ways(int n) {
      if (n < 0) {
          return 0;
      }
      if (n == 1) {
          return 1;
      }
      return process(1, n);
}

  // 上一个拆出来的数是pre
  // 还剩rest需要去拆
  // 返回拆解的方法数
public static int process(int pre, int rest) {
      if (rest == 0) { // 如果正好拆完了,说明找到了一种方法
          return 1;
      }
if (pre > rest) { // 拆不了,没法拆完,返回0种方法
   return 0;
}
      int ways = 0;
      for (int first = pre; first <= rest; first++) { // 有循环,可以优化
          ways += process(first, rest - first);
      }
      return ways;
  }

  // 斜率优化的版本,通过举例画图即可知道如何简化
  public static int dp2(int n) {
      if (n < 0) {
          return 0;
      }
      if (n == 1) {
          return 1;
      }
      int[][] dp = new int[n + 1][n + 1];
      for (int pre = 1; pre <= n; pre++) {
          dp[pre][0] = 1;
          dp[pre][pre] = 1; // 对角线可以直接填 1,因为之前是3,剩3,只能有一种填法
      }
      for (int pre = n - 1; pre >= 1; pre--) {
          for (int rest = pre + 1; rest <= n; rest++) {
              dp[pre][rest] = dp[pre + 1][rest];
              dp[pre][rest] += dp[pre][rest - pre];
          }
      }
      return dp[1][n];
  }