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前言

        在讲完线性表后，接下来要介绍树结构中的二叉树，本文是基于C语言实现的。

        本文就来分享一波作者对数据结构二叉树的学习心得与见解。本篇属于第七篇，先介绍树和二叉树的概念相关内容，建议阅读本文之前先把前面的文章看看。

        笔者水平有限，难免存在纰漏，欢迎指正交流。

树概念及结构

树的概念

        树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

现实世界的树：

数据结构中的树：

树的特征

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点，每一个子树都有一个根结点。
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
• 树是递归定义的。
• 树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构 。

树的相关概念

        其实就是把现实的树的概念加上人类的亲缘关系拿来形象化地命名。

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中节点的最大层次， 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟，如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点，可以说有种一脉相承的感觉。如上图：A是所有节点的祖先；A和F是L的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

树的表示

        树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

        父结点指向左边第一个子结点，子结点间的兄弟结点用指针链接起来。

 typedef int DataType;
 struct Node
 {
     struct Node* firstChild1; // (从左边算起)第一个孩子结点
     struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
     DataType data; // 结点中的数据域
 };

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二叉树概念及结构

现实中的二叉树：

还有鬼畜二叉树之舞：

概念

        二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树组成。

由上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意，对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是 说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k -1 ，则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对 应时称之为完全二叉树。

        也就是说，完全二叉树，前k-1层都是满的，第k层不一定是满的，但要求从左到右是连续的，不能有空缺，结点数量范围为[2^(k-1) ,2^k - 1]。

        要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2i - 1 个结点。

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是 2h - 1。

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0的叶结点个数为n0 , 度为2的分支结点个数为n2 , 则有n0 = n2 + 1，同时，度为1的分支节点个数为n1，则n1的范围为[0, 1]。

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h = log2 (n + 1)。

5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

   1. 若 i > 0，i位置节点的双亲序号： (i - 1) / 2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
   2. 若 2i + 1 < n，左孩子序号：2i + 1；若 2i + 1>= n则无左孩子
   3. 若 2i + 2 < n，右孩子序号：2i + 2；若 2i + 2>= n则无右孩子

选择题练习

1.某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）

A.不存在这样的二叉树 B.200 C.198 D.199

根据题意，n2 = 199，由二叉树的性质3，n0 = n2 + 1 = 200，故选择B

2.下列数据结构中，不适合采用顺序存储结构的是（ ）

A.非完全二叉树 B.堆 C.队列 D.栈

A和C都不太适合采用顺序存储结构，作为单选题的话，A更不适合，因为非完全二叉树采用顺序存储结构会浪费大量空间，所以选择A。

3.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

A.n B.n+1 C.n-1 D.n/2

叶子结点就是度为0的结点，由二叉树的性质3，结合题意我们可以列出等式：n0 + n0 - 1 + n1 = 2n，而n1 要么是0、要么是1，假设是0，则原式为2n0 = 2n + 1，求出的n0 不为整数，而n0 只能是整数，所以n1 不为0而为1，代入就得到n0 = n。所以选择A。

4.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）

A.11 B.10 C.8 D.12

完全二叉树的高度范围公式为2h-1 ~ 2h - 1，而29 是512，210 - 1 是1023，531正好在这个范围内，所以这棵树的高度就为10。所以选择B。

5.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A.383 B.384 C.385 D.386

这道题和第三题是同一类型题，由题意得2n0 - 1 + n1 = 767，假设n1 为1，则有2xn0 = 767，算出非整数，所以n1 只能是0，则有2xn0 = 768，得n0 = 384。所以选择B。

6.（不是二叉树）在一颗度为3的树中，度为3的结点有2个，度为2的结点有1个，度为1的结点有2个，则叶子结点有（ ）个。

A.4 B.5 C.6 D.7

设度为i的节点个数为ni, 该树总共有n个节点,则n=n0+n1+n2+n3.

有n个节点的树的总边数为n-1条.

根据度的定义,总边数与度之间的关系为：n - 1 = 0 x n0 + 1 x n1 + 2 x n2 + 3 x n3.

联立两个方程求解,可以得到n0 = n2 + 2 x n3 + 1, n0=6

所以选择C

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