(蓝桥杯省赛)最少砝码(数学+构造)

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题目: image.png

分析:这是一道构造题目,假设我们组成0k最少需要的数的数目是n,且组成0k+1最少需要的数目是n+1,那么我们第n+1个数选2k+1可以使得我们这n+1个数能够组成0~3k+1中的任意数,原理是很容易理解的,下面就给出这个的构造方法:

由于0~k我们可以由原来的n个数组成,所以就不需要额外构造了,所以我们就可以直接从k+1开始:

k+1=(2*k+1)-k k可以由前n个数组成

k+2=(2*k+1)-(k-1)

……

k+k=(2*k+1)-(1)

2k+1=(2k+1)-(0)

2k+2=(2k+1)+(1)

……

3k=(2k+1)+(k-1)

3k+1=(2k+1)+k

第n+1个数最大取到2k+1吗?如果要是大于2k+1呢?假如对于第n+1个数s>2k+1,那么由于前n个数最大表示的数是k,那么对于k+1则无法表示,因为对于k+1的表示要么是由第n+1个数-前n个数组成的一个数得到,要么就只能由前n个数组成得到,但是由于前n个数最大组成k,所以一定不可能只由前n个数组成,但是若想由第n+1个数-前n个数组成的一个数得到,那么需要前n个数组成一个>k的数,因为第n+1个数s>2k+1么,所以这也是不可能的,所以我们就知道第n+1个数一定不能比2k+1大,但是2k+1又能够满足构造,所以第n+1个数就是取2*k+1. 所以也就是说我们就可以按照上面的构造方法进行构造,这样是一定没问题的 文章到这就分析完了