深入理解计算机系统(2.4)------整数的表示(无符号编码和补码编码)

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上一篇博客我们主要介绍了布尔代数和C语言当中的几个运算符。那么这一篇博客我们主要介绍在计算机中整数是如何表示的,诸如我们在编码过程中遇到的对数据类型进行强制转换可能会得到意想不到的结果在这篇博客里你会得到解答。

1、什么是整数?

  整数包含正整数,0,负整数。我们从小的数学常识,整数是无穷无尽的,即整数的大小没有限制。

  但是在计算机中则不能这样理解,因为计算机是靠数字信号来表示数,计算机所能处理的整数的长度是由计算机的字长来决定的,所以,在计算机中,我们必须制定一个规则来表示整数。

2、C 语言中的整型数据类型

  C 语言是支持多种整型数据类型的,下面我们看一下在 32 位机器和 64 位机器中,C 语言整型数据类型的取值范围。

  我们可以看到 :

  ①、C 语言数据类型是可以用来指定大小,同时还可以指示表示的数是非负数(声明为 unsigned),或者负数(默认)。

  ②、数据类型分配的字节数会根据机器的字长和编译器有所不同,不同的大小所表示的范围是不同的。上图唯一一个与机器有关的取值范围是 long 类型的,64位机器使用8个字节(264),而32位机器使用4个字节(232)。

  ③、负数的范围要比正数的范围大1。这是为什么呢,请接着往下面看。

  下面我们看一下 C 语言标准所定义的每种数据类型所能表示的最小的取值范围。   C 语言标准我们可以从上图得到:

  ①、正数和负数的取值范围是对称的。

  ②、int 数据类型可以用 2 个字节来实现。(216)

  ③、long 数据类型用4 个字节来实现。(232)

3、无符号数的编码

  无符号数,在C语言中,即用 unsigned 声明的整数。

  定义:假设对于一个w位的无符号整数,用二进制比特位可以表示为[xw-1 , xw-2 , … , x2 , x1 , x0]。那么我们可以用一个函数表示如下:   这个函数可以举几个简单的例子来看:

  那么很显然,对于一个无符号编码的数,由 w 位的二进制序列构成,那么它的最小值,即所有位都为 0 ,用位向量表示即:【000......000】。

    UMinw = 0

  最大值即所有位都为 1,用位向量表示即:【111......111】

    UMaxw = 1 * (1-2w) / 1 - 2 = 2w - 1

  我们可以得出一个结论:无符号的二进制,对于任意一个w位的二进制序列,都存在唯一一个整数介于0 到 2w-1之间,与这个二进制序列对应。反过来,在0 到 2w-1之间的每一个整数,存在唯一的二进制序列与其对应。

4、补码编码

  上面我们讲解了正整数的编码,那么在实际应用中,是存在负数的。而在计算机中,最常见的表示有符号的数就是补码。补码的定义如下:

  其中最高有效位 xw-1 也称为符号位,符号位为 1 时表示负数,当设置为 0 时,表示非负数。下面我们看几个例子:

  那么我们可以得出:当最高位为1,其余为全部是 0 的时候,即【1000......000】,表示补码格式的最小值:

    TMinw = -2w-1

 当最高位为 0,其余为全部是 1 时,即【0111......111】,表示补码格式的最大值:

    TMaxw = 1 * (1 - 2w-1) / 1 - 2 = 2w-1-1

  通过上面的两个公式,我们就很好理解为什么上面C语言数据类型负数的范围要比正数的范围大1。

  和上面无符号编码一样,我们对于补码格式编码也可以得到一个结论:

  对于任意一个w位的二进制序列,都存在唯一一个介于-2w-1 到 2w-1-1的整数,与这个二进制序列对应。反过来,对于任意介于-2w-1 到 2w-1-1的整数,存在唯一的长度为w二进制序列与其对应。

  那么你就应该明白了为什么十进制 -1,在计算机中二进制表示为 1111 1111,而不是1000 0001,因为计算机是以补码的形式表示的。

5、反码和原码

反码定义:除了最高有效位的权是-2w-1-1,而不是-2w-1其余的和补码表示方式一样   原码定义:最高有效位是符号位,用来确定剩下的位是正还是负   我们可以和补码的定义进行对比:   原码:一个整数,按照绝对值大小转换为二进制数,最高位为符号位。

  反码:将原码除最高位(符号位)外,其余各位按位取反,所得到的二进制码。正数的反码为原码。

  补码:反码最低位加1即为补码。

  对于正整数,原码、反码、补码完全一样,即符号位固定为0,数值位相同。

  对于负整数,原码和补码互相转换的简便方法:从数的右边往左开始数,遇到“0”不理它,直到遇到第一个“1”为止,以后的每一位数取反即是它的原码或补码,符号位不变,还是“1”(补码的补码是原码)。

  比如:11010100 ----- 从右往左数,第一位是0,不理它,第二位还是0不理它,第三位是1,那么从此以后的每位取反,即为它的补码了.答案为:10101100

  事实上,程序员如果希望代码具有最大的可移植性,能够在所有可能的机器上运行,就应该用补码的形式来表示有符号整数。虽然过去生产过基于反码表示的机器,但是几乎所有的现代机器都是使用补码。

  注意:浮点数有使用原码编码。

  关于整型数据类型的表示和取值范围,Java标准是非常明确的,它要求采用补码形式,取值范围和C语言在64位机器中的情况一样。在Java中,单字节数据类型称为 byte,而不是char,而且没有long long 数据类型。这些具体的要求都是为了保证无论在什么机器上,Java程序运行的表现都能完全一样。

6、总结

  本篇博客主要讲解了有符号数和无符号数之间的转换,我们需要明白它的原理,这篇博客也涉及到很多公式推导证明,LZ也是看了好几遍才理解这些,大家如果第一遍看不懂也没关系,多看几遍,然后多用笔推导推导,还是不难理解的。下一章会介绍C语言中的有符号数和无符号数以及扩展和截断数字。