本文已参与「新人创作礼」活动，一起开启掘金创作之路。

向量及其线性运算

一、向量的加减法

设有两个向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$，任取一点$A$，作$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol a$，再以$B$为起点，作$\overrightarrow{BC}=\boldsymbol b$，连接$AC$，那么向量$\overrightarrow{AC}=\boldsymbol c$称为向量$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$的和，记作$\boldsymbol a+\boldsymbol b$，即$\boldsymbol c=\boldsymbol a+\boldsymbol b$，上述两向量之和的方法叫做向量相加的三角形法则

 

运算规律

• 交换律：$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$

• 结合律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbol a+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$

 

二、向量与数的乘法

向量$\boldsymbol a$与实数$\lambda$的乘积记作$\lambda\boldsymbol a$，规定$\lambda\boldsymbol a$是一个向量，它的模为$|\lambda\boldsymbol a|=|\lambda||\boldsymbol a|$，当$\lambda>0$时，与$\boldsymbol a$相同，当$\lambda<0$，与$\boldsymbol a$相反，当$\lambda=0$时，$|\lambda\boldsymbol a|=0$，即$\lambda\boldsymbol a$为零向量，此时它的方向是任意的

 

运算规律

• 结合律：$\lambda(\mu\boldsymbol a)=\mu(\lambda \boldsymbol a)=(\lambda\mu)\boldsymbol a$

• 分配律：$(\lambda+\mu)\boldsymbol a=\lambda\boldsymbol a+\mu\boldsymbol a$；$\lambda(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=\lambda\boldsymbol a+\lambda\boldsymbol b$

 

三、利用坐标作向量的线性运算

设$\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z),\boldsymbol b=(b_x,b_y,b_z)$，即$\boldsymbol a=a_x\boldsymbol i+a_y\boldsymbol j+a_z\boldsymbol k,\boldsymbol b=b_x\boldsymbol i+b_y\boldsymbol j+b_z\boldsymbol k$，利用向量加法的交换律与结合律以及向量与数的乘法的结合律与分配律，得

$\boldsymbol a+\boldsymbol b=(a_x+b_x)\boldsymbol i+(a_y+b_y)\boldsymbol j+(a_z+b_z)\boldsymbol k$

$\boldsymbol a-\boldsymbol b=(a_x-b_x)\boldsymbol i+(a_y-b_y)\boldsymbol j+(a_z-b_z)\boldsymbol k$

$\lambda a=(\lambda a_x)\boldsymbol i+(\lambda a_y)\boldsymbol j+(\lambda a_z)\boldsymbol k$

即$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z),(\boldsymbol a-\boldsymbol b)=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z)$

$\lambda\boldsymbol a=(\lambda a_x,\lambda a_y,\lambda a_z)$

 

定理1：当向量$\boldsymbol a\ne\boldsymbol0$，若向量$\boldsymbol a\mathop{//}\boldsymbol b$，则$\boldsymbol=\lambda\boldsymbol a$，即向量$\boldsymbol b$与向量$\boldsymbol a$的坐标成比例

 

四、向量的模、方向角

1. 向量的模与两点间的距离公式

1. 设向量$\boldsymbol r=\overrightarrow{OM}=(x,y,z)$，则向量模的坐标表达式$|\boldsymbol r|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

2. 设点$A(x_1,y_1,z_1)$和点$B(x_2,y_2,z_2)$，则点$A$和点$B$的距离就是向量$\overrightarrow{AB}$的模，则向量$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)$

      点A和点B的距离为$|AB|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$

 

例1：在$z$轴上求与两点$A(-4,1,7)$和$B(3,5,-2)$等距离的点

设点$M$的坐标为$(0,0,z)$

则$|\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}|$

有$\because\overrightarrow{MA}=(-4,1,7-z),\overrightarrow{MB}=(3,5,-2-z)$

$\sqrt{|\overrightarrow{MA}|}=\sqrt{|\overrightarrow{MB}|}$

解得$z=\frac{14}9$

故点为$(0,0,\frac{14}9)$

 

2. 方向角与方向余弦

方向角指的是采用某坐标轴方向作为标准方向所确定的方位角。

若$\overrightarrow r=\overrightarrow{OM}$，设$\overrightarrow{OM}$与$x$轴正向夹角$\alpha$，与$y$轴正向夹角为$\beta$，与$z$轴正向夹角为$\gamma$，设$\overrightarrow{OM}=(x,y,z)$，则$\cos\alpha=\frac x{|\overrightarrow{OM}|},\cos\beta=\frac y{|\overrightarrow{OM}|},\cos\gamma=\frac z{|\overrightarrow{OM}|}$

方向角在$[0\degree,180\degree)$

补充$\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1$

 

数量积、向量积与混合积

一、两向量的数量积

定义：设向量$\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z),\boldsymbol b=(b_x,b_y,b_z)$，则向量$\boldsymbol a$与向量$\boldsymbol b$的数量积为$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\cos\theta$或$\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$

 

运算规律

• 交换律：$\boldsymbol a\cdot\boldsymbol b=\boldsymbol b\cdot\boldsymbol a$

• 分配律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\boldsymbol c=\boldsymbol a\cdot\boldsymbol c+\boldsymbol b\cdot\boldsymbol c$

• 结合律：$(\lambda\boldsymbol a)\boldsymbol b=\lambda(\boldsymbol a\cdot \boldsymbol b)$

 

二、两向量的向量积

设$\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z)$和$\boldsymbol b=(b_x,b_y,b_z)$，且$\boldsymbol c=\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\left|\begin{matrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\end{matrix}\right|=(-1)^{1+1}(a_yb_z-a_zb_y)\boldsymbol i+(-1)^{1+2}(a_xb_z-a_zb_x)\boldsymbol j+(-1)^{1+3}(a_xb_y-a_yb_x)\boldsymbol k$，且$|\boldsymbol c|=|\boldsymbol a||\boldsymbol b|\sin\theta$

 

1. 运算规律

• $\boldsymbol b\times\boldsymbol a=-\boldsymbol a\times\boldsymbol b$

• 分配律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)\times\boldsymbol c=\boldsymbol a\times\boldsymbol c+\boldsymbol b\times\boldsymbol c$

• 结合律：$(\lambda\boldsymbol a)\times\boldsymbol b=\boldsymbol a\times(\lambda\boldsymbol b)=\lambda(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\quad\text{(}\lambda\text{为常数)}$

 

2. 性质

• $\boldsymbol a\times\boldsymbol a=\boldsymbol 0$

• 已知两个非零向量$\boldsymbol a,\boldsymbol b$，如果$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol 0$，则$\boldsymbol a\mathop{//}\boldsymbol b$；反之如果$\boldsymbol a\mathop{//}\boldsymbol b$，那么$\boldsymbol a\times\boldsymbol b=\boldsymbol 0$

 

三、向量的混合积

1. 定义

设$\boldsymbol a=(a_x,a_y,a_z),\boldsymbol b(b_x,b_y,b_z),\boldsymbol c=(c_x,c_y,c_z)$，则$(\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c)=(\boldsymbol a\times\boldsymbol b)\cdot\boldsymbol c=\left|\begin{matrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{matrix}\right|$

 

2. 性质

若三个向量$\boldsymbol a,\boldsymbol b,\boldsymbol c$共面，则它的充分必要条件是它们的混合积$(\boldsymbol a\boldsymbol b\boldsymbol c)=0$，即$\left|\begin{matrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\c_x&c_y&c_z\end{matrix}\right|=0$

 

例1：已知$A(1,2,0),B(2,3,1),C(4,2,2),M(x,y,z)$四点共面，求点$M$的坐标$x,y,z$所需满足的关系式

$\overrightarrow{MA}=(1-x,2-y,-z)$

$\overrightarrow{AB}=(1,1,1)$

$\overrightarrow{AC}=(3,0,2)$

$\begin{aligned}0=(\overrightarrow{MA}\overrightarrow{AB}\overrightarrow{AC})=&\left|\begin{matrix}1-x&2-y&-z\\1&1&1\\3&0&2\end{matrix}\right|\\=&\left|\begin{matrix}1-x&1-y+x&x-z-1\\1&0&0\\3&-3&-1\end{matrix}\right|\\=&(-1)^{1+2}\left|\begin{matrix}1-y+x&x-z-1\\-3&-1\end{matrix}\right|\\=&2x+y-3z-4\end{aligned}$

故$2x+y-3z-4=0$

 

平面及其方程

一、平面的点法式方程

如果一个非零向量垂直于一平面，这个向量就叫做该平面的法线向量

 

设$M_0(x_0,y_0,z_0)$为平面上的一点，$M(x,y,z)$是平面上的任一点，已知该平面的法线向量为$\boldsymbol n=(A,B,C)$，那么$\boldsymbol n\cdot\overrightarrow{M_0M}=0$，即$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$，这个方程即为平面的点法式方程

 

二、平面的一般方程

三元方程$Ax+By+Cz+D=0$即为平面的一般式方程

 

例1：设一平面与$x,y,z$轴的交点依次为$P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)$三点，求这个平面的方程（其中$a\ne0,b\ne0,c\ne0$）

设平面方程为$Ax+By+Cz+D=0$

代入$P,Q,R$得$\begin{cases}aA+D=0\\bB+D=0\\cC+D=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}A=-\frac Da\\B=-\frac Db\\C=-\frac Dc\end{cases}$

代入得$-\frac Dax-\frac Dby-\frac Dcz+D=0$

即平面方程为$\begin{aligned}\frac xa+\frac yb+\frac zc=1\end{aligned}$

 

空间直线及其方程

一、空间直线的一般方程

$\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0\\A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$，其中两平面需相交

 

二、空间直线的对称式方程

$\begin{aligned}\frac{x-x_0}m=\frac{y-y_0}n=\frac{z-z_0}l\end{aligned}$，其中$s=(m,n,l)$为直线的一个方向向量，$M_0(x_0,y_0,z_0)$为直线上的一点

 

三、空间直线的参数方程

$\begin{cases}x=x_0+mt\\y=y_0+nt\\z=z_0+lt\end{cases}$，其中$\boldsymbol s=(m,n,l)$为直线的一个方向向量，$M_0(x_0,y_0,z_0)$为直线上的一点

 

其实可以由空间直线的对称式方程得来

$\begin{aligned}\frac{x-x_0}m=\frac{y-y_0}n=\frac{z-z_0}l=t\end{aligned}$分别移项即可得到

 

例1：用对称式及参数方程表达直线$\begin{cases}x+y+z+1=0\\2x-y+3z+4=0\end{cases}$

取$x_0=1$，代入直线方程

解得$y_0=0,z_0=-2$

故$M_0(1,0,-2)$

$\boldsymbol {n_1}=(1,1,1),\boldsymbol {n_2}=(2,-1,3)$

$\boldsymbol s=\boldsymbol {n_1}\times\boldsymbol {n_2}=\left|\begin{matrix}\boldsymbol i&\boldsymbol j&\boldsymbol k\\1&1&1\\2&-1&3\end{matrix}\right|=4\boldsymbol i-\boldsymbol j-3\boldsymbol k$

故$\boldsymbol s=(4,-1,-3)$

又$\because M_0(1,0,-2)$为直线上一点

故对称式方程$\begin{aligned}\frac{x-1}4=\frac{y-0}{-1}=\frac{z+2}{-3}\end{aligned}$

参数方程为$\begin{cases}x=1+4t\\y=-t\\z=-2-3t\end{cases}$

 

曲面及其方程

一、旋转曲面

将一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所围成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲面和定直线分别叫做旋转曲线的母线和轴

绕谁转，谁不动，剩下一个平方变剩下两个的平方和

如：给定曲线$f(x,y)$，绕$x$轴旋转一圈之后得到的旋转曲面为$f(x,\sqrt{y^2+z^2})$

 

例1：$z=ay^2\quad(a>0)$，求该曲线绕$z$轴旋转得到的曲面方程

绕$z$轴转，$z$不动，剩下$y^2$变成$x^2+y^2$

$z=a(x^2+y^2)$

 

二、常见曲面方程

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

• 球面$x^2+y^2+z^2=a^2$

      演示时$a$取$2$

plt.rcParams['figure.figsize']=(8,8)# 全局设置输出图片大小，建议放在最上面

ax=plt.gca(projection="3d")

a=2

theta=np.arange(0,2*np.pi,0.05)

phi=np.arange(0,2*np.pi,0.02)

Theta,Phi= np.meshgrid(theta,phi)

x=a*np.sin(Theta)*np.cos(Phi)

y=a*np.sin(Theta)*np.sin(Phi)

z=a*np.cos(Theta)

ax.plot_surface(x,y,z)

画图遇到了一些问题，以后会补上的（大概在行列式或矩阵之后）

 

• 圆柱面$x^2+y^2=R^2$

• 椭球面$\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\end{aligned}$

• 旋转抛物面$\begin{aligned}z=a^2(x^2+y^2)\end{aligned}$

• 圆锥面$\begin{aligned}z^2=a^2(x^2+y^2)\end{aligned}$

• 单叶双曲面$\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\end{aligned}$

• 双叶双曲面$\begin{aligned}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1\end{aligned}$

 

空间曲面及其方程

一、空间曲线的一般方程

设曲面$F(x,y,z)=0$和$G(x,y,z)=0$，这两个曲面的交线$\begin{cases}F(x,y,z)=0\\G(x,y,z)=0\end{cases}$，记为空间曲线$C$的一般方程

 

二、空间曲线的参数方程

$\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}$，$x,y,z$分别为参数$t$的函数，此时方程组叫做空间曲线的参数方程

 

三、空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线$C$的一般方程为$\begin{cases}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{cases}$，求在$xoy$面的投影，即将一般方程联立消去$z$，所得方程$\begin{cases}H(x,y)=0\\z=0\end{cases}$，即为空间曲线$C$在$xoy$面的投影方程

 

例1：已知两球面的方程为$x^2+y^2+z^2=1$和$x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1$求它们的交线$C$在$xoy$面的投影方程

$C=\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1\quad(1)\\x^2+(y-1)^2+(z-1)^2=1\quad(2)\end{cases}$

$(1)-(2)$得，$y+z=1$

将$z=1-y$代入$(1)$中，得，$x^2+y^2+(1-y)^2=1$即$x^2+2y^2-2y=0$

故投影方程为$\begin{cases}x^2+2y^2-2y=0\\z=0\end{cases}$