AcWing 894. 拆分-Nim游戏

携手创作，共同成长！这是我参与「掘金日新计划 · 8 月更文挑战」的第44天，点击查看活动详情

AcWing 894. 拆分-Nim游戏

给定 n 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以取走其中的一堆石子，然后放入两堆规模更小的石子（新堆规模可以为 0，且两个新堆的石子总数可以大于取走的那堆石子数），最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式

第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 堆石子的数量 ai。

输出格式

如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围

1≤n,ai≤100

输入样例：

2
2 3

输出样例：

Yes

思路

相比于集合-Nim，这里的每一堆可以变成小于原来那堆的任意大小的两堆 即a[i]可以拆分成(b[i])(b[j]),为了避免重复规定b[i]>=b[j],即：a[i]>b[i]>=b[j] 相当于一个局面拆分成了两个局面，由SG函数理论，多个独立局面的SGSG值，等于这些局面SGSG值的异或和。 因此需要存储的状态就是sg(b[i])^sg(b[j])（与集合-Nim的唯一区别）

PS：因为这题中原堆拆分成的两个较小堆小于原堆即可，因此任意一个较小堆的拆分情况会被完全包含在较大堆中，因此SS可以开全局。

ac代码

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>
using namespace std;
const int N = 110;
int n;
int f[N];
int sg(int x){
    if (f[x] != -1) return f[x];
    unordered_set<int> S;
    for (int i = 0; i < x; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            S.insert(sg(i) ^ sg(j));
    for (int i = 0;; i ++ )
        if (!S.count(i))
            return f[x] = i;
}
int main(){
    cin >> n;
    memset(f, -1, sizeof f);
    int res = 0;
    while (n -- ){
        int x;
        cin >> x;
        res ^= sg(x);
    }
    if (res) puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}