力扣每日一题0828-793. 阶乘函数后 K 个零

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f(x) 是 x! 末尾是 0 的数量。回想一下 x! = 1 * 2 * 3 * ... * x，且 0! = 1 。

• 例如， f(3) = 0 ，因为 3! = 6 的末尾没有 0 ；而 f(11) = 2 ，因为 11!= 39916800 末端有 2 个 0 。

给定 k，找出返回能满足 f(x) = k 的非负整数 x 的数量。

示例 1：

输入：k = 0
输出：5
解释：0!, 1!, 2!, 3!, 和 4! 均符合 k = 0 的条件。

示例 2：

输入：k = 5
输出：0
解释：没有匹配到这样的 x!，符合 k = 5 的条件。

示例 3:

输入: k = 3
输出: 5

二分查找

n! 尾零的数量即为 $n!$ 中因子 $10$ 的个数，而 $10=2\times 5$，因此转换成求 $n!$ 中质因子 $2$ 的个数和质因子 $5$ 的个数的较小值。

由于质因子 5 的个数不会大于质因子 2 的个数（具体证明见方法二），我们可以仅考虑质因子 5 的个数。

而 n! 中质因子 5 的个数等于 [1,n] 的每个数的质因子 5 的个数之和，我们可以通过遍历 [1,n] 的所有 5 的倍数求出。

优化计算

换一个角度考虑 [1,n] 中质因子 p 的个数。

[1,n] 中 p 的倍数有 $n_1=\Big\lfloor\dfrac{n}{p}\Big\rfloor$ 个，这些数至少贡献出了 $n_1$ 个质因子 p。$p^2$ 的倍数有 $n_2=\Big\lfloor\dfrac{n}{p^2}\Big\rfloor$ 个，由于这些数已经是 p 的倍数了，为了不重复统计 p 的个数，我们仅考虑额外贡献的质因子个数，即这些数额外贡献了至少 $n_2$ 个质因子 p。

代码实现

$\Big\lfloor\dfrac{n}{5^k}\Big\rfloor=\Big\lfloor\dfrac{\Big\lfloor\dfrac{n}{5^{k-1}}\Big\rfloor}{5}\Big\rfloor$

首先我们令 $\textit{zeta}(x)$ 为 $x!$ 末尾零的个数。

$zeta(x)=∑^∞_{k=1}\Big\lfloor\dfrac{x}{5^k}\Big\rfloor$

记 $n_{x}$ 表示 $x!$ 末尾零的个数不小于 $x$ 的最小数，那么题目等价于求解 $n_{k + 1} - n_k$。

由于 $\textit{zeta}(x)$ 为单调不减函数，因此 $n_{k + 1}$ 和 $n_k$ 可以通过「二分查找」来求解。

又因为

$zeta(x)=∑^∞_{k=1}\Big\lfloor\dfrac{x}{5^k}\Big\rfloor ≥ \Big\lfloor\dfrac{n}{5^k}\Big\rfloor$

得

$zeta(5x)≥x$

所以当二分求解 $n_{x}$ 时，我们可以将二分的初始右边界 r 设置为 5x。

var preimageSizeFZF = function(k) {
    return help(k + 1) - help(k);
}

const help = (k) => {
    let r = 5 * k;
    let l = 0;
    while (l <= r) {
        const mid = Math.floor((l + r) / 2);
        if (zeta(mid) < k) {
            l = mid + 1;
        } else {
            r = mid - 1;
        }
    }
    return r + 1;
}

const zeta = (x) => {
    let res = 0;
    while (x != 0) {
        res += Math.floor(x / 5);
        x = Math.floor(x / 5);
    }
    return res;
};