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最近刷题发现很多题都是使用动态规划来完成的，去学习动态规划的时候，大家都介绍斐波那契数列算是动态规划的入门题。（斐波那契数列并不是严格意义上的动态规划，因为它不涉及到求最值，用这个例子旨在说明重叠子问题与状态转移方程）

斐波那契数列

斐波那契数列.drawio (2).png

公式

$\begin{cases} F(0) = 0 \\ F(1) = 1 \\ F(n) = F(n - 1)+F(n - 2) , n >=2 \end{cases}$

斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。比如说在斐波拉契数列当中第一个数为0，第二个数为1，因此第三个数为前面两个数之和，因此第三个数为1，同理第四个数是第二个数和第三个数之和，因此第四个数为2，下面就是斐波拉契数的变化：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ....

递归法

class Solution {
  func fibonacci(_ n: Int) -> Int {
    if (n < 2) {
      return n
    }
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
  }
}

分析

当我们求第6个斐波拉契数的时候，函数fibonacci的调用过程如下所示：

我们在调用fibonacci(6)的时候他会调用：[fibonacci(5)和fibonacci(4)]，然后fibonacci(5)会调用[fibonacci(4)和fibonacci(3)]，fibonacci(4)会调用[fibonacci(3)和fibonacci(2)]......

我们容易发现我们在函数调用的过程当中存在重复，比如下图两个相同的部分表示对fibonacci(4)重新计算，因为他们的调用树都是一样的：

斐波那契数列.drawio (3).png

可以看出求F(6)就会出现很多重复的计算，比如F(4)计算了两次，F(3)计算了三次，F(2)计算了五次，都是指数级的增长，斐波拉契数列的时间和空间复杂度都是O(2n)。

求解问题F(6),转成求F(5),F(4),从原问题可以分解成求子问题，子问题再分解成子子问题，。。。，直到再也不能分解，这种从原问题展开子问题进行求解的方式叫自顶向下

动态规划

我们反向思考一下，如果F(0),F(1)...F(5)都已经计算好并已经做了缓存，当我们使用F(6)的时候是不是直接取F(5)+F(4)就可以了？时间复杂度O(1)。计算好之后也缓存进来，如果在增加F(7)也可以直接提取F(6)+F(5)，时间复杂度也是O(1)。

f(0) = 0
f(1) = 1
f(2) = 1
f(3) = f(1) + f(2) = 2
f(4) = f(3) + f(2) = 3
f(5) = f(4) + f(3) = 5
f(6) = f(5) + f(4) = 8
....
f(n) = f(n-1) + f(n-2)

图解

斐波那契数列.drawio (4).png

代码

class Solution {
    func fibonacci(_ n: Int) -> Int {
        if (n < 2) { return n }
        var dp = Array(repeating: 0, count: n+1)
        dp[1] = 1

        for i in 2...n {
            dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
        }

        return dp.last!
    }
}