编辑距离

力扣：72. 编辑距离 - 力扣（LeetCode）
给你两个单词 word1 和 word2，请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。
你可以对一个单词进行如下三种操作：

插入一个字符
删除一个字符
替换一个字符

示例 1：
输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')

示例 2：
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')

提示：

0 <= word1.length, word2.length <= 500
word1 和 word2 由小写英文字母组成

编辑距离终于来了，这道题目如果大家没有了解动态规划的话，会感觉超级复杂。

编辑距离是用动规来解决的经典题目，这道题目看上去好像很复杂，但用动规可以很巧妙的算出最少编辑距离。

接下来我依然使用动规五部曲，对本题做一个详细的分析：

动规五部曲：

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]。

这里在强调一下：为啥要表示下标i-1为结尾的字符串呢，为啥不表示下标i为结尾的字符串呢？

用i来表示也可以！但我统一以下标i-1为结尾的字符串，在下面的递归公式中会容易理解一点。

2. 确定递推公式

在确定递推公式的时候，首先要考虑清楚编辑的几种操作，整理如下：

if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1))
    不操作
if (word1.charAt(i - 1) != word2.charAt(j - 1))
    增
    删
    换

也就是如上4种情况。

if (word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1)) 那么说明不用任何编辑，dp[i][j] 就应该是 dp[i - 1][j - 1]，即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

此时可能有朋友有点不明白，为啥要即dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]呢？

那么就在回顾上面讲过的dp[i][j]的定义，word1.charAt(i - 1) 与 word2.charAt(j - 1)相等了，那么就不用编辑了，以下标i-2为结尾的字符串word1和以下标j-2为结尾的字符串word2的最近编辑距离dp[i - 1][j - 1]就是 dp[i][j]了。

在下面的讲解中，如果哪里看不懂，就回想一下dp[i][j]的定义，就明白了。

在整个动规的过程中，最为关键就是正确理解dp[i][j]的定义！

if (word1.charAt(i - 1) != word2.charAt(j - 1))，此时就需要编辑了，如何编辑呢？

操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1;

操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离再加上一个操作。

即 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1;

这里有同学发现了，怎么都是删除元素，添加元素去哪了。

word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad" ，word2 = "a"，word1删除元素'd' 和 word2添加一个元素'd'，变成word1="a", word2="ad"，最终的操作数是一样！ dp数组如下图所示意的：

            a                         a     d
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+
   |  0  |  1  |             |  0  |  1  |  2  |
   +-----+-----+   ===>      +-----+-----+-----+
 a |  1  |  0  |           a |  1  |  0  |  1  |
   +-----+-----+             +-----+-----+-----+
 d |  2  |  1  |
   +-----+-----+

操作三：替换元素，word1替换word1.charAt(i - 1)，使其与word2.charAt(j - 1)相同，此时不用增加元素，那么以下标i-2为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离加上一个替换元素的操作。

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

操作三：对单词 A 替换一个字符和对单词 B 替换一个字符是等价的。例如当单词 A 为 bat，单词 B 为 cat 时，我们修改单词 A 的第一个字母 b -> c，和修改单词 B 的第一个字母 c -> b 是等价的。
即：word1替换word1.charAt(i - 1)，使其与word2.charAt(j - 1)相同，此时不用增加元素，那么以下标i-2为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离加上一个替换元素的操作。

即 dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

综上，当 if (word1[i - 1] != word2[j - 1]) 时取最小的，即：dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1;

递归公式代码如下：

if (word1[i - 1] == word2[j - 1]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
}
else {
    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1;
}

3. dp数组如何初始化

再回顾一下dp[i][j]的定义：

dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j] 。

那么dp[i][0] 和 dp[0][j] 表示什么呢？

dp[i][0] ：以下标i-1为结尾的字符串word1，和空字符串word2，最近编辑距离为dp[i][0]。

那么dp[i][0]就应该是i，对word1里的元素全部做删除操作，即：dp[i][0] = i;

同理dp[0][j] = j;

所以java代码如下：

        int n = word1.length();
        int m = word2.length();
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i][0] = i;
        for(int j = 1; j <= m; j++) dp[0][j] = j;

4. 确定遍历顺序

从如下四个递推公式：

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
dp[i][j] = dp[i][j - 1] + 1
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + 1

可以看出dp[i][j]是依赖左方，上方和左上方元素的，如图：

所以在dp矩阵中一定是从左到右从上到下去遍历。

5. 举例推导dp数组

以示例1为例，输入：word1 = "horse", word2 = "ros"为例，dp矩阵状态图如下：

分析完毕Java代码如下：

class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int n = word1.length();
        int m = word2.length();
        int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
        for(int i = 1; i <= n; i++) dp[i][0] = i;
        for(int j = 1; j <= m; j++) dp[0][j] = j;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j <= m; j++){
                if(word1.charAt(i - 1) == word2.charAt(j - 1))
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
                else
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], Math.min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])) + 1;
            }
        }
        return dp[n][m];
    }
}

动态规划问题序列09：编辑距离！