[每日一题] leetcode 793. 阶乘函数后 K 个零

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阶乘函数后 K 个零

$f(x) 是 x! 末尾是 0 的数量。回想一下 x! = 1 * 2 * 3 * ... * x，且 0! = 1 。$ $例如， f(3) = 0 ，因为 3! = 6 的末尾没有 0 ；$ $而 f(11) = 2 ，$ $因为 11!= 39916800 末端有 2 个 0 。$ $给定 k，找出返回能满足 f(x) = k 的非负整数 x 的数量。$

示例 1：

输入：k = 0
输出：5
解释：0!, 1!, 2!, 3!, 和 4! 均符合 k = 0 的条件。

示例 2：

输入：k = 5
输出：0
解释：没有匹配到这样的 x!，符合 k = 5 的条件。
示例 3:

输入: k = 3
输出: 5

数据范围:

• 0 <= k <= 10^9

思路

阶乘末尾的0如何求出？
显然，0的个数和 $2^x \times 5^y$ 中的 $min(x, y)$ 有关
每出现一对这样的数，就多一个0
2 需要考虑吗？
2出现的次数一定比5出现的次数多，这个是毋庸置疑
所以就可以把问题转化为 看5的幂次 如何比较快的求出来呢
考虑这样的算式
$cnt(x) = x / 5 + cnt(x / 5)$ 就可以把x里面的因子全部除干净
因为这个等价于
$cnt(x) = \frac{x}{5} + \frac{x}{5^2} + \frac{x}{5^3} + ... + \frac{x}{5^k}$ 算出来以后就知道当前数的阶乘的0有多少个了
然后，我们就可以二分去找到最接近的一个数了
显然二分也存在这样一种情况，我找不到这个数，并不存在0为x的数 这个时候返回0即可 若是找到了这个样子的一个数，那么这样的数必定不会超过5个
因为 $设当前数为 x, 则有 x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5$ $则 ((x + 5) - x) / 5 = 1$ 所以成立条件的最大的数字应该只能有5个数字
二分的时候有很多种形式，这里我采取的是逼近他的下届，其实若是逼近上界也是一样的。
且本体的答案有一点数论分块的意思
所以上界下届都可

代码

class Solution {
public:
    int preimageSizeFZF(int k) {
        #define int long long
        int l = 0, r = 5e9;
        auto get = [](auto&& self, int x) -> int {
            if (x / 5) return x / 5 + self(self, x / 5);
            else return 0;
        };
        while (l < r) {
            int x = l + r >> 1;
            if (get(get, x) < k) l = x + 1;
            else r = x; 
        }
        if (get(get, r) == k) return 5;
        #undef int
        return 0;
    }
};